Толпыго А.К. — олимпиадные задачи по математике - сложность 2 с решениями

У каждого из девяти натуральных чисел $n, 2n, 3n,\ldots,9n$ выписали первую слева цифру. Может ли при некотором натуральном $n$ среди девяти выписанных цифр быть не более четырёх различных?

Как известно, квадратное уравнение имеет не более двух корней. А может ли уравнение $[x^2] + px + q = 0$ при $p \ne 0$ иметь более 100 корней? ($[x^2]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $x^2$.)

а) У Тани есть 4 одинаковые с виду гири, массы которых равны 1000, 1002, 1004 и 1005 г (неизвестно, где какая), и чашечные весы (показывающие, какая из двух чаш перевесила или что имеет место равенство). Может ли Таня за 4 взвешивания гарантированно определить, где какая гиря? (Следующее взвешивание выбирается по результатам прошедших.) б) Тот же вопрос, если у весов левая чашка на 1 г легче правой, так что весы показывают равенство, если масса на левой чашке на 1 г больше, чем на правой.

На плоскости даны две параболы:  $y = x^2$  и  $y = x^2 - 1$.  Пусть $U$ – множество всех точек плоскости, лежащих между параболами (включая точки на самих параболах). Существует ли отрезок длины более $10^6$, целиком содержащийся в $U$?

Взяли несколько положительных чисел и построили по ним такую последовательность: <i>a</i>₁ – сумма исходных чисел, <i>a</i>₂ – сумма квадратов исходных чисел, <i>a</i>₃ – сумма кубов исходных чисел, и т.д.

  а) Могло ли случиться, что до <i>a</i>₅ последовательность убывает  (<i>a</i>₁ > <i>a</i>₂ > <i>a</i>₃ > <i>a</i>₄ > <i>a</i>₅),  а начиная с <i>a</i>₅ – возрастает  (<i>a</i>₅ < <i>a...

Известно, что число <i>a</i> положительно, а неравенство  10 < <i>a^x</i> < 100  имеет ровно пять решений в натуральных числах.

Сколько таких решений может иметь неравенство  100 < <i>a^x</i> < 1000?

Известно, что число <i>a</i> положительно, а неравенство  1 < <i>xa</i> < 2  имеет ровно три решения в целых числах.

Сколько решений в целых числах может иметь неравенство  2 < <i>xa</i> < 3 ?

Можно ли уместить два точных куба между соседними точными квадратами?

Иными словами, имеет ли решение в целых числах неравенство:  <i>n</i>² < <i>a</i>³ < <i>b</i>³ < (<i>n</i> + 1)²?

На длинной ленте бумаги выписали все числа от 1 до 1000000 включительно (в некотором произвольном порядке). Затем ленту разрезали на кусочки по две цифры в каждом кусочке. Докажите, что в каком бы порядке ни выписывались числа, на кусочках встретятся все двузначные числа.

Сумма нескольких положительных чисел равна 10, а сумма квадратов этих чисел больше 20. Докажите, что сумма кубов этих чисел больше 40.

Сколько существует разных способов разбить число 2004 на натуральные слагаемые, которые <i>приблизительно равны</i>? Слагаемых может быть одно или несколько. Числа называются <i>приблизительно равными</i>, если их разность не больше 1. Способы, отличающиеся только порядком слагаемых, считаются одинаковыми.

Периметр выпуклого четырёхугольника равен 2004, одна из диагоналей равна 1001. Может ли вторая диагональ быть равна  а) 1;  б) 2;  в) 1001?

Пусть <i>a^b</i> обозначает число <i>a^b</i>. В выражении  7^7^7^7^7^7^7  надо расставить скобки, чтобы определить порядок действий (всего будет 5 пар скобок).

Можно ли расставить эти скобки двумя разными способами так, чтобы получилось одно и то же число?

По кругу расставлено девять чисел – четыре единицы и пять нулей. Каждую секунду над числами проделывают следующую операцию: между соседними числами ставят ноль, если они различны, и единицу, если они равны; после этого старые числа стирают.

Могут ли через некоторое время все числа стать одинаковыми?