Моя подборка0Войти

Толпыго А.К. — олимпиадные задачи по математике - сложность 4-5 с решениями

Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.

Случайная задача

Каталог

КлассЛюбой
Выберите класс
Любой
Сбросить
Сложность4–5
Выберите сложность
Выбрано: 4–5
Сбросить

Фильтры задач

Выберите автора, класс и сложность.

Класс
Любой класс
Сложность
Выбрано: 4–5
Сбросить
Сложность 4–5 ×Толпыго А. К. ×Сбросить всё
7 задач
Задача № 2091998 класс9 класс10 класс4 / 5

Задача № 209199

Положительные числа х1, ..., хk удовлетворяют неравенствам а) Докажите, что k > 50. б) Построить пример таких чисел для какого-нибудь k. в) Найти минимальное k, для которого пример возможен.

Толпыго А. К.
Problems.ruОткрыть задачу →
Задача № 1978858 класс9 класс10 класс11 класс4 / 5

Задача № 197885

Игра в "супершахматы" ведётся на доске размером 30×30, и в ней участвуют 20 разных фигур, каждая из которых ходит по своим правилам. Известно, однако, что 1) любая фигура с любого поля бьёт не более 20 полей и 2) если фигуру сдвинуть на несколько полей, то битые поля соответственно сдвигаются (может быть, исчезают за пределы поля). Докажите, что а) любая фигура F бьёт данное поле Х не более, чем с 20 полей; б) можно расставить на доске все 20 фигур так, чтобы ни одна из них не била другую.

Толпыго А. К.
Problems.ruОткрыть задачу →
Задача № 1736758 класс9 класс10 класс4 / 5

Задача № 173675

С натуральным числом (записываемым в десятичной системе) разрешено проделывать следующие операции:А) приписать на конце цифру 4; Б) приписать на конце цифру 0; В) разделить на 2 (если число чётно). Например, если с числом 4 проделаем последовательно операции В, В, А и Б, то получим число 140. а) Из числа 4 получите число 1972. б)* Докажите, что из числа 4 можно получить любое натуральное число.

Толпыго А. К.
Problems.ruОткрыть задачу →
Задача № 16726310 класс11 класс4 / 5

Задача № 167263

Даны пять точек, расстояние между любыми двумя из них больше 2. Верно ли, что расстояние между какими-то двумя из них больше 3, если эти 5 точек расположены a) на плоскости; б) в пространстве?

Толпыго А. К.
Problems.ruОткрыть задачу →
Задача № 1672609 класс10 класс11 класс4 / 5

Задача № 167260

Дано натуральное число nn. Для произвольного числа xx рассмотрим сумму Q(x)=⌊x⌋+⌊x2⌋+⌊x3⌋+⌊x4⌋+⋯+⌊x10n⌋. Q(x)=\lfloor x\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{4}\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{x}{10^{n}}\right\rfloor . Найдите разность Q(10n)−Q(10n−1)Q\left(10^{n}\right)-Q\left(10^{n}-1\right). (Здесь ⌊x⌋\lfloor x\rfloor обозначает целую часть числа xx, то есть наибольшее целое число, не превосходящее xx.)

Толпыго А. К.
Problems.ruОткрыть задачу →
Задача № 1672578 класс9 класс10 класс11 класс4 / 5

Задача № 167257

Для произвольного числа xx рассмотрим сумму Q(x)=⌊x⌋+⌊x2⌋+⌊x3⌋+⌊x4⌋+…+⌊x10000⌋.Q(x)=\lfloor x\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{4}\right\rfloor+\ldots+\left\lfloor\frac{x}{10000}\right\rfloor. Найдите разность Q(2023)–Q(2022)Q(2023) – Q(2022). (Здесь ⌊x⌋\lfloor x\rfloor обозначает целую часть числа xx, то есть наибольшее целое число, не превосходящее xx.)

Толпыго А. К.
Problems.ruОткрыть задачу →
Задача № 16620210 класс11 класс4 / 5

Задача № 166202

Дано иррациональное число α, 0 < α < ½. По нему определяется новое число α1 как меньшее из двух чисел 2α и 1 – 2α. По этому числу аналогично определяется α2, и так далее. а) Докажите, что αn < 3/16 для некоторого n . б) Может ли случиться, что αn > 7/40 при всех натуральных n?

Толпыго А. К.
Problems.ruОткрыть задачу →
Старый дизайн