Задача № 209199
Положительные числа х1, ..., хk удовлетворяют неравенствам а) Докажите, что k > 50. б) Построить пример таких чисел для какого-нибудь k. в) Найти минимальное k, для которого пример возможен.
Толпыго А.К. — олимпиадные задачи по математике - сложность 4 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 197885
Игра в "супершахматы" ведётся на доске размером 30×30, и в ней участвуют 20 разных фигур, каждая из которых ходит по своим правилам. Известно, однако, что 1) любая фигура с любого поля бьёт не более 20 полей и 2) если фигуру сдвинуть на несколько полей, то битые поля соответственно сдвигаются (может быть, исчезают за пределы поля). Докажите, что а) любая фигура F бьёт данное поле Х не более, чем с 20 полей; б) можно расставить на доске все 20 фигур так, чтобы ни одна из них не била другую.
Задача № 173675
С натуральным числом (записываемым в десятичной системе) разрешено проделывать следующие операции:А) приписать на конце цифру 4; Б) приписать на конце цифру 0; В) разделить на 2 (если число чётно). Например, если с числом 4 проделаем последовательно операции В, В, А и Б, то получим число 140. а) Из числа 4 получите число 1972. б)* Докажите, что из числа 4 можно получить любое натуральное число.
Задача № 167263
Даны пять точек, расстояние между любыми двумя из них больше 2. Верно ли, что расстояние между какими-то двумя из них больше 3, если эти 5 точек расположены a) на плоскости; б) в пространстве?
Задача № 167260
Дано натуральное число . Для произвольного числа рассмотрим сумму Найдите разность . (Здесь обозначает целую часть числа , то есть наибольшее целое число, не превосходящее .)
Задача № 167257
Для произвольного числа рассмотрим сумму Найдите разность . (Здесь обозначает целую часть числа , то есть наибольшее целое число, не превосходящее .)
Задача № 166202
Дано иррациональное число α, 0 < α < ½. По нему определяется новое число α1 как меньшее из двух чисел 2α и 1 – 2α. По этому числу аналогично определяется α2, и так далее. а) Докажите, что αn < 3/16 для некоторого n . б) Может ли случиться, что αn > 7/40 при всех натуральных n?