Блинков А.Д. — олимпиадные задачи по математике для 9 класса
Окружность, проходящая через вершины <i>A, B</i> и точку пересечения высот треугольника <i>ABC</i>, пересекает стороны <i>AC</i> и <i>BC</i> во внутренних точках.
Докажите, что 60° < ∠<i>C</i> < 90°.
В турнире по футболу участвует 2<i>n</i> команд (<i>n</i> > 1). В каждом туре команды разбиваются на <i>n</i> пар и команды в каждой паре играют между собой. Так провели 2<i>n</i> – 1 тур, по окончании которых каждая команда сыграла с каждой ровно один раз. За победу давалось 3 очка, за ничью – 1, за поражение – 0 очков. Оказалось, что для каждой команды отношение набранных ею очков к количеству сыгранных ею игр после последнего тура не изменилось. Докажите, что все команды сыграли вничью все партии.
В прямоугольном треугольнике <i>ABC CH</i> – высота, проведённая к гипотенузе. Окружность с центром <i>H</i> и радиусом <i>CH</i> пересекает больший катет <i>AC</i> в точке <i>M</i>. Точка <i>B'</i> симметрична точке <i>B</i> относительно <i>H</i>. В точке <i>B'</i> восставлен перпендикуляр к гипотенузе, который пересекает окружность в точке <i>K</i>. Докажите, что:
а) <i>B'M || BC</i>;
б) <i>AK</i> – касательная к окружности.
В трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна средней линии. Докажите, что трапеция равнобокая.
В треугольнике <i>ABC</i> отмечены середины сторон <i>AC</i> и <i>BC</i> – точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно. Угол <i>MAN</i> равен 15°, а угол <i>BAN</i> равен 45°.
Найдите угол <i>ABM</i>.
Дан треугольник <i>ABC</i>. На продолжениях сторон <i>AB</i> и <i>CB</i> за точку <i>B</i> взяты соответственно точки <i>C</i><sub>1</sub> и <i>A</i><sub>1</sub> так, что <i>AC = A</i><sub>1</sub><i>C = AC</i><sub>1</sub>.
Докажите, что описанные окружности треугольников <i>ABA</i><sub>1</sub> и <i>CBC</i><sub>1</sub> пересекаются на биссектрисе угла <i>B</i>.
Даны два приведённых квадратных трёхчлена. График одного из них пересекает ось <i>Ox</i> в точках <i>A</i> и <i>M</i>, а ось <i>Oy</i> – в точке <i>C</i>. График другого пересекает ось <i>Ox</i> в точках <i>B</i> и <i>M</i>, а ось <i>Oy</i> – в точке <i>D</i>. (<i>O</i> – начало координат; точки расположены как на рисунке.) Докажите, что треугольники <i>AOC</i> и <i>BOD</i> подобны.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/32897/problem_32897_img_2.gif"></div>