Блинков А.Д. — олимпиадные задачи по математике для 8-9 класса

Найдутся ли такие функции <i>p</i>(<i>x</i>) и <i>q</i>(<i>x</i>), что <i>p</i>(<i>x</i>) – чётная функция, а <i>p</i>(<i>q</i>(<i>x</i>)) – нечётная функция (отличная от тождественно нулевой)?

Восстановите треугольник <i>ABC</i> по вершине <i>B</i>, центру тяжести и точке пересечения <i>L</i> симедианы, проведённой из вершины <i>B</i>, с описанной окружностью.

В шестиугольнике равны углы, три главные диагонали равны между собой и шесть остальных диагоналей также равны между собой.

Верно ли, что у него равны стороны?

Окружность, проходящая через вершины <i>A, B</i> и точку пересечения высот треугольника <i>ABC</i>, пересекает стороны <i>AC</i> и <i>BC</i> во внутренних точках.

Докажите, что  60° < ∠<i>C</i> < 90°.

В турнире по футболу участвует 2<i>n</i> команд  (<i>n</i> > 1).  В каждом туре команды разбиваются на <i>n</i> пар и команды в каждой паре играют между собой. Так провели  2<i>n</i> – 1  тур, по окончании которых каждая команда сыграла с каждой ровно один раз. За победу давалось 3 очка, за ничью – 1, за поражение – 0 очков. Оказалось, что для каждой команды отношение набранных ею очков к количеству сыгранных ею игр после последнего тура не изменилось. Докажите, что все команды сыграли вничью все партии.

В прямоугольном треугольнике <i>ABC  CH</i> – высота, проведённая к гипотенузе. Окружность с центром <i>H</i> и радиусом <i>CH</i> пересекает больший катет <i>AC</i> в точке <i>M</i>. Точка <i>B'</i> симметрична точке <i>B</i> относительно <i>H</i>. В точке <i>B'</i> восставлен перпендикуляр к гипотенузе, который пересекает окружность в точке <i>K</i>. Докажите, что:

  а)  <i>B'M || BC</i>;

  б)  <i>AK</i> – касательная к окружности.

В трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна средней линии. Докажите, что трапеция равнобокая.

В треугольнике <i>ABC</i> отмечены середины сторон <i>AC</i> и <i>BC</i> – точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно. Угол <i>MAN</i> равен 15°, а угол <i>BAN</i> равен 45°.

Найдите угол <i>ABM</i>.

Дан треугольник <i>ABC</i>. На продолжениях сторон <i>AB</i> и <i>CB</i> за точку <i>B</i> взяты соответственно точки <i>C</i>₁ и <i>A</i>₁ так, что  <i>AC = A</i>₁<i>C = AC</i>₁.

Докажите, что описанные окружности треугольников <i>ABA</i>₁ и <i>CBC</i>₁ пересекаются на биссектрисе угла <i>B</i>.

Даны два приведённых квадратных трёхчлена. График одного из них пересекает ось <i>Ox</i> в точках <i>A</i> и <i>M</i>, а ось <i>Oy</i> – в точке <i>C</i>. График другого пересекает ось <i>Ox</i> в точках <i>B</i> и <i>M</i>, а ось <i>Oy</i> – в точке <i>D</i>. (<i>O</i> – начало координат; точки расположены как на рисунке.) Докажите, что треугольники <i>AOC</i> и <i>BOD</i> подобны.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/32897/problem_32897_img_2.gif"></div>