Задача № 208447
Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Докажите, что окружности, построенные на боковых сторонах трапеции как на диаметрах, касаются друг друга. Также доступны документы в формате TeX
Фомин Д. — олимпиадные задачи по математике - сложность 2 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 208056
Во вписанном четырёхугольнике ABCD длины сторон BC и CD равны. Докажите, что площадь этого четырёхугольника равна ½ AC² sin∠A.
Задача № 208033
В треугольнике ABC проведена медиана AM. Может ли радиус вписанной окружности треугольника ABM быть ровно в два раза больше радиуса вписанной окружности треугольника ACM?
Задача № 198133
Первого числа некоторого месяца в магазине было 10 видов товаров по одинаковой цене за штуку. После этого каждый день каждый товар дорожает либо в 2 раза, либо в 3 раза. Первого числа следующего месяца все цены оказались различными. Докажите, что отношение максимальной цены к минимальной больше 27.
Задача № 198085
Докажите, что произведение 99 дробей где k = 2, 3, ..., 100, больше ⅔.
Задача № 198083
В ряд стоят 30 сапог: 15 левых и 15 правых. Докажите, что среди некоторых десяти подряд стоящих сапог левых и правых поровну.
Задача № 198081
Имеется n целых чисел (n > 1). Известно, что каждое из них отличается от произведения всех остальных на число, кратное n. Докажите, что сумма квадратов этих чисел делится на n.
Задача № 198055
Докажите, что при любом натуральном n найдётся ненулевой многочлен P(x) с коэффициентами, равными 0, –1, 1, степени не больше 2n, который делится на (x – 1)n.
Задача № 198009
Найти шесть различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых делится на сумму этих двух чисел.
Задача № 197863
Каждый член последовательности, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему числу его суммы цифр. Первым членом последовательности является единица. Встретится ли в последовательности число 123456?