Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Обозначим через Tk(n) сумму произведений по k чисел от 1 до n. Например, T2(4) = 1·2 + 1·3 + 1·4 + 2·3 + 2·4 + 3·4. а) Найдите формулы для T2(n) и T3(n). б) Докажите, что Tk(n) является многочленом от n степени 2k. в) Укажите метод нахождения многочленов Tk(n) при k = 2, 3, 4, ... и примените его для отыскания многочленов T4(n) и T5(n).
Исследуйте, сколько решений имеет система уравнений x² + y² + xy = a, x² – y² = b, где а и b – некоторые данные действительные числа.
Через точку, взятую внутри произвольного треугольника, параллельно его сторонам проведены отрезки с концами на сторонах треугольника. Докажите, что сумма трёх отношений этих отрезков к параллельным им сторонам треугольника равна 2.