Волчкевич М.А. — олимпиадные задачи по математике - сложность 2-3 с решениями
Максим сложил на столе из 9 квадратов и 19 равносторонних треугольников (не накладывая их друг на друга) многоугольник. Мог ли периметр этого многоугольника оказаться равным 15 см, если стороны всех квадратов и треугольников равны 1 см?
Разрежьте фигуру, показанную на рисунке, на четыре одинаковые части. <img align="center" src="/storage/problem-media/66508/problem_66508_img_2.png">
На биссектрисе <i>AA</i><sub>1</sub> треугольника <i>ABC</i> выбрана точка <i>X</i>. Прямая <i>BX</i> пересекает сторону <i>AC</i> в точке <i>B</i><sub>1</sub>, а прямая <i>CX</i> пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>C</i><sub>1</sub>. Отрезки <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub> и <i>CC</i><sub>1</sub> пересекаются в точке <i>P</i>, а отрезки <i>A</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> и <i>BB</i><sub>1</sub> пересекаются в точке <i>Q</i>. Докажите, что углы <i>PAC</i&g...
В четырёхугольнике <i>ABCD AB = CD, M</i> и <i>K</i> – середины <i>BC</i> и <i>AD</i>. Докажите, что угол между <i>MK</i> и <i>AC</i> равен полусумме углов <i>BAC</i> и <i>DCA</i>.
Окружность с центром <i>O</i> проходит через концы гипотенузы прямоугольного треугольника и пересекает его катеты в точках <i>M</i> и <i>K</i>.
Докажите, что расстояние от точки <i>O</i> до прямой <i>MK</i> равно половине гипотенузы.
Один угол треугольника равен 60°, а лежащая против этого угла сторона равна трети периметра треугольника.
Докажите, что данный треугольник равносторонний.
В трапеции <i>ABCD</i> диагонали пересекаются в точке <i>O</i>. На боковой стороне <i>CD</i> выбрана точка <i>M</i>, а на основаниях <i>BC</i> и <i>AD</i> – точки <i>P</i> и <i>Q</i> так, что отрезки <i>MP</i> и <i>MQ</i> параллельны диагоналям трапеции. Докажите, что прямая <i>PQ</i> проходит через точку <i>O</i>.
В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> <i>O</i> – точка пересечения диагоналей, а <i>M</i> – середина стороны <i>BC</i>. Прямые <i>MO</i> и <i>AD</i> пересекаются в точке <i>E</i>. Докажите, что <i>AE</i> : <i>ED = S<sub>ABO</sub> : S<sub>CDO</sub></i>.
Точки <i>Е</i> и <i>F</i> – середины сторон <i>ВС</i> и <i>AD</i> выпуклого четырёхугольника <i>АВСD</i>. Докажите, что отрезок <i>EF</i> делит диагонали <i>АС</i> и <i>BD</i> в одном и том же отношении.
В выпуклом четырехугольнике <i>АВСD</i> точка <i>Е</i> — середина <i>CD</i>, <i>F</i> — середина <i>АD</i>, <i>K</i> — точка пересечения <i>АС</i> и <i>ВЕ</i>. Докажите, что площадь треугольника <i>BKF</i> в два раза меньше площади треугольника <i>АВС</i>.