Волчкевич М.А. — олимпиадные задачи по математике для 4-8 класса
Разрежьте фигуру, показанную на рисунке, на четыре одинаковые части. <img align="center" src="/storage/problem-media/66508/problem_66508_img_2.png">
В четырёхугольнике <i>ABCD AB = CD, M</i> и <i>K</i> – середины <i>BC</i> и <i>AD</i>. Докажите, что угол между <i>MK</i> и <i>AC</i> равен полусумме углов <i>BAC</i> и <i>DCA</i>.
Окружность с центром <i>O</i> проходит через концы гипотенузы прямоугольного треугольника и пересекает его катеты в точках <i>M</i> и <i>K</i>.
Докажите, что расстояние от точки <i>O</i> до прямой <i>MK</i> равно половине гипотенузы.
Один угол треугольника равен 60°, а лежащая против этого угла сторона равна трети периметра треугольника.
Докажите, что данный треугольник равносторонний.
В трапеции <i>ABCD</i> диагонали пересекаются в точке <i>O</i>. На боковой стороне <i>CD</i> выбрана точка <i>M</i>, а на основаниях <i>BC</i> и <i>AD</i> – точки <i>P</i> и <i>Q</i> так, что отрезки <i>MP</i> и <i>MQ</i> параллельны диагоналям трапеции. Докажите, что прямая <i>PQ</i> проходит через точку <i>O</i>.
Известно, что <i>AE</i> и <i>CD</i> — биссектрисы треугольника <i>ABC</i>, <!-- MATH $\angle CDE = 30^{\circ}$ --> $\angle$<i>CDE</i> = 30<sup><tt>o</tt></sup>. Докажите, что один из углов треугольника <i>ABC</i> равен <!-- MATH $60^{\circ}$ --> 60<sup><tt>o</tt></sup> или <!-- MATH $120^{\circ}$ --> 120<sup><tt>o</tt></sup>.