Васильев Н.Б. — олимпиадные задачи по математике для 9 класса
Для каждого непрямоугольного треугольника <i>T</i> обозначим через <i>T</i><sub>1</sub> треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника <i>T</i>; через <i>T</i><sub>2</sub> – треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника <i>T</i><sub>1</sub>; аналогично определим треугольники <i>T</i><sub>3</sub>, <i>T</i><sub>4</sub> и так далее. Каким должен быть треугольник <i>T</i>, чтобы
а) треугольник <i>T</i><sub>1</sub> был остроугольным?
б) в последовательности <i>T</i><sub>1</sub>, <i>T</i><sub>2</sub>, <i>T</i>...
Пусть <i>k</i> и <i>n</i> – натуральные числа, <i>k ≤ n</i>. Расставьте первые <i>n</i>² натуральных чисел в таблицу <i>n</i>×<i>n</i> так, чтобы в каждой строке числа шли в порядке возрастания и при этом сумма чисел в <i>k</i>-м столбце была а) наименьшей; б) наибольшей.
а) Докажите, что нельзя занумеровать рёбра куба числами 1, 2, ..., 11, 12 так, чтобы для каждой вершины сумма номеров трёх выходящих из неё рёбер была одной и той же. б) Можно ли вычеркнуть одно из чисел 1, 2, ..., 12, 13 и оставшимися занумеровать рёбра куба так, чтобы выполнялось то же условие?
Пусть<i>l</i><sub>1</sub>,<i>l</i><sub>2</sub>, ...,<nobr><i>l</i><sub><i>n</i></sub> —</nobr>несколько прямых на плоскости, не все из которых параллельны. Докажите, что можно единственным образом выбрать на каждой из этих прямых по точке<i>X</i><sub>1</sub>,<i>X</i><sub>2</sub>, ...,<i>X</i><sub><i>n</i></sub>так, чтобы перпендикуляр, восставленный к прямой<i>l</i><sub><i>k</i></sub>в точке<i>X</i><sub><i>k</i></sub>(для любого натурального<nobr><i>k</i> < <i>n</i>),</nobr>проходил через точку<i>X...
<img src="/storage/problem-media/73554/problem_73554_img_2.gif" width="172" height="69" vspace="10" hspace="20" align="right">В бесконечной цепочке нервных клеток каждая может находиться в одном из двух состояний: «покой» и «возбуждение». Если в данный момент клетка возбудилась, то она посылает сигнал, который через единицу времени (скажем, через одну миллисекунду) доходит до обеих соседних с ней клеток. Каждая клетка возбуждается в том и только в том случае, если к ней приходит сигнал от одной из соседних клеток; если сигналы приходят одновременно с двух сторон, то они погашаются, и клетка не возбуждается. Например, если в начальной момент времени<nobr><i>t</i> = 0</nobr>возбудить три соседние клетки...
Четыре круга, центры которых являются вершинами выпуклого четырёхугольника, целиком покрывают этот четырёхугольник. Докажите, что из них можно выбрать три круга, которые покрывают треугольник с вершинами в центрах этих кругов.
В каждой клетке квадрата 8×8 клеток проведена одна из диагоналей. Рассмотрим объединение этих 64 диагоналей. Оно состоит из нескольких связных частей (к одной части относятся точки, между которыми можно пройти по одной или нескольким диагоналям). Может ли количество этих частей быть больше
а) 15;
б) 20?
в) Может ли в аналогичной задаче про квадрат <i>n×n</i> клеток получиться больше чем <sup><i>n</i>²</sup>/<sub>4</sub> частей (для <i>n</i> > 8)?
Вокруг квадрата описан параллелограмм. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин параллелограмма на стороны квадрата, образуют квадрат.
Вершины правильного <i>n</i>-угольника окрашены в несколько цветов так, что точки каждого цвета служат вершинами правильного многоугольника.
Докажите, что среди этих многоугольников найдутся два равных.
Две стороны треугольника равны 10 и 15. Докажите, что биссектриса угла между ними не больше 12.
С помощью циркуля и линейки постройте треугольник <i>ABC</i>, если заданы его наименьший угол при вершине <i>A</i> и отрезки <i>d = AB – BC</i> и <i>e = AC – BC</i>.
Дан квадрат <i>ABCD</i>. Точки <i>P</i> и <i>Q</i> лежат на сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> соответственно, причём <i>BP = BQ</i>. Пусть <i>H</i> – основание перпендикуляра, опущенного из точки <i>B</i> на отрезок <i>PC</i>. Докажите, что угол <i>DHQ</i> – прямой.