Задача № 208595
Внутри квадрата ABCD лежит квадрат PQRS. Отрезки AP, BQ, CR и DS не пересекают друг друга и стороны квадрата PQRS. Докажите, что сумма площадей четырёхугольников ABQP и CDSR равна сумме площадей четырёхугольников BCRQ и DAPS.
Васильев Н.Б. — олимпиадные задачи по математике для 6-10 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 208048
Каждая из трёх окружностей радиусов соответственно 1, r и r извне касается двух других. При каких значениях r существует треугольник, описанный около этих окружностей?
Задача № 208009
Докажите, что внутри остроугольного треугольника существует такая точка, что основания перпендикуляров, опущенных из неё на стороны, являются вершинами равностороннего треугольника.
Задача № 207771
Докажите, что для любого k > 1 найдётся такая степень двойки, что среди k последних её цифр не менее половины составляют девятки. (Например, 212 = ...96, 253 = ...992.)
Задача № 207768
В круглый бокал, осевое сечение которого — график функцииy=x4, опускают вишенку — шар радиусаr. При каком наибольшемrшар коснется нижней точки дна? (Другими словами, каков максимальный радиусrкруга, лежащего в областиyx4и содержащего начало координат?)
Задача № 207756
Докажите, что уравнение x² + y² + z² = x³ + y³ + z³ имеет бесконечное число решений в целых числах x, y, z.
Задача № 203802
Каких пятизначных чисел больше: не делящихся на 5 или тех, у которых ни первая, ни вторая цифра слева – не пятёрка?
Задача № 198369
Докажите, что уравнение xy(x – y) + yz(y – z) + zx(z – x) = 6 имеет бесконечно много решений в целых числах.
Задача № 198358
Докажите, что уравнение x² + y² – z² = 1997 имеет бесконечно много решений в целых числах.
Задача № 198335
F – выпуклая фигура с двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии. Через точку M, лежащую внутри фигуры и отстоящую от осей на расстояния a и b, провели прямые, параллельные осям. Эти прямые делят F на четыре области. Найдите разность между суммой площадей большей и меньшей из областей и суммой площадей двух других.
Задача № 198329
Пусть A', B', C', D', E', F' – середины сторон AB, BC, CD, DE, EF, FA произвольного выпуклого шестиугольника ABCDEF. Известны площади треугольников ABC', BCD', CDE', DEF', EFA', FAB'. Найдите площадь шестиугольника ABCDEF.
Задача № 198328
а) Докажите для всех n > 2 неравенство б) Найдите какие-нибудь такие натуральные числа a, b, c, что для всех n > 2
Задача № 198326
При каком n > 1 может случиться так, что в компании из n + 1 девочек и n мальчиков все девочки знакомы с разным числом мальчиков, а все мальчики – с одним и тем же числом девочек?
Задача № 198317
Можно ли нарисовать на плоскости четыре красных и четыре чёрных точки так, чтобы для каждой тройки точек одного цвета нашлась такая точка другого цвета, что эти четыре точки являются вершинами параллелограмма?
Задача № 198315
а) Может ли случиться, что в компании из 10 девочек и 9 мальчиков все девочки знакомы с разным числом мальчиков, а все мальчики – с одним и тем же числом девочек? б) А если девочек 11, а мальчиков 10?
Задача № 198314
При каких целых значениях n правильный треугольник со стороной n можно замостить плитками, имеющими форму равнобочной трапеции со сторонами 1, 1, 1, 2?
Задача № 198294
Рассматриваются всевозможные шестизвенные замкнутые ломаные, все вершины которых лежат на окружности. а) Нарисуйте такую ломаную, которая имеет наибольшее возможное число точек самопересечения. б) Докажите, что большего числа самопересечений такая ломаная не может иметь.
Задача № 198284
На плоскости даны три точки A, B, C. Через точку C проведите прямую так, чтобы произведение расстояний от этой прямой до A и B было максимальным. Всегда ли такая прямая единственна?
Задача № 198243
Покажите, как разбить пространство а) на одинаковые тетраэдры, б) на одинаковые равногранные тетраэдры (тетраэдр называется равногранным, если все его грани – равные треугольники).
Задача № 198232
На плоскости дан квадрат 8×8, разбитый на клеточки 1×1. Его покрывают прямоугольными равнобедренными треугольниками (два треугольника закрывают одну клетку). Имеется 64 черных и 64 белых треугольника. Рассматриваются "правильные" покрытия – такие, что каждые два треугольника, имеющие общую сторону, разного цвета. Сколько существует правильных покрытий?
Задача № 198220
Существует ли бесконечное число таких троек целых чисел x, y, z, что x² + y² + z² = x³ + y³ + z³?
Задача № 198192
В каждой клетке квадрата 8×8 клеток проведена одна из диагоналей. Рассмотрим объединение этих 64 диагоналей. Оно состоит из нескольких связных частей (к одной части относятся точки, между которыми можно пройти по одной или нескольким диагоналям). Может ли количество этих частей быть а) больше 15? б) больше 20?
Задача № 198155
Функция f(x) на отрезке [a, b] равна максимуму из нескольких функций вида y = C·10–|x–d| (с различными d и C, причём все C положительны). Дано, что f(a) = f(b). Докажите, что сумма длин участков, на которых функция возрастает, равна сумме длин участков, на которых функция убывает.
Задача № 198142
Пусть n и b – натуральные числа. Через V(n, b) обозначим число разложений n на сомножители, каждый из которых больше b (например: 36 = 6·6 = 4·9 = 3·3·4 = 3·12, так что V(36, 2) = 5). Докажите, что V(n, b) < n/b.
Задача № 198118
Можно ли в таблицу 9×9 расставить такие натуральные числа, что одновременно выполняются следующие условия: 1) произведения чисел, стоящих в одной строке, одинаковы для всех строк; 2) произведения чисел, стоящих в одном столбце, одинаковы для всех столбцов; 3) среди чисел нет равных; 4) все числа не больше 1991?
1–25 из 48