Задача № 207771
Докажите, что для любого k > 1 найдётся такая степень двойки, что среди k последних её цифр не менее половины составляют девятки. (Например, 212 = ...96, 253 = ...992.)
Васильев Н.Б. — олимпиадные задачи по математике для 11 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 207768
В круглый бокал, осевое сечение которого — график функцииy=x4, опускают вишенку — шар радиусаr. При каком наибольшемrшар коснется нижней точки дна? (Другими словами, каков максимальный радиусrкруга, лежащего в областиyx4и содержащего начало координат?)
Задача № 198329
Пусть A', B', C', D', E', F' – середины сторон AB, BC, CD, DE, EF, FA произвольного выпуклого шестиугольника ABCDEF. Известны площади треугольников ABC', BCD', CDE', DEF', EFA', FAB'. Найдите площадь шестиугольника ABCDEF.
Задача № 198317
Можно ли нарисовать на плоскости четыре красных и четыре чёрных точки так, чтобы для каждой тройки точек одного цвета нашлась такая точка другого цвета, что эти четыре точки являются вершинами параллелограмма?
Задача № 198284
На плоскости даны три точки A, B, C. Через точку C проведите прямую так, чтобы произведение расстояний от этой прямой до A и B было максимальным. Всегда ли такая прямая единственна?
Задача № 198243
Покажите, как разбить пространство а) на одинаковые тетраэдры, б) на одинаковые равногранные тетраэдры (тетраэдр называется равногранным, если все его грани – равные треугольники).
Задача № 198155
Функция f(x) на отрезке [a, b] равна максимуму из нескольких функций вида y = C·10–|x–d| (с различными d и C, причём все C положительны). Дано, что f(a) = f(b). Докажите, что сумма длин участков, на которых функция возрастает, равна сумме длин участков, на которых функция убывает.
Задача № 198072
Тремя бесконечными сериями равноотстоящих параллельных прямых плоскость разбита на равносторонние треугольники со стороной 1. M – множество всех их вершин. A и B – две вершины одного треугольника. Разрешается поворачивать плоскость на 120° вокруг любой из вершин множества M. Можно ли за несколько таких преобразований перевести точку A в точку B?
Задача № 198045
На какое максимальное число частей могут разбить координатную плоскость xOy графики 100 квадратных трехчлёнов вида y = anx² + bnx + cn (n = 1, 2, ..., 100)?
Задача № 173754
В пространстве заданы четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Сколько существует различных параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?
Задача № 173737
Из последовательности a, a + d, a + 2d, a + 3d, ..., являющейся бесконечной арифметической прогрессией, где d не равно 0, тогда и только тогда можно выбрать подпоследовательность, являющуюся бесконечной геометрической прогрессией, когда отношение a/d рационально. Докажите это.
Задача № 173714
Для каждого непрямоугольного треугольника T обозначим через T1 треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T; через T2 – треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T1; аналогично определим треугольники T3, T4 и так далее. Каким должен быть треугольник T, чтобы а) треугольник T1 был остроугольным? б) в последовательности T1, T2, T3, ... встретился прямоугольный треугольник Tn (и таким образом треугольник Tn+1 не определён)? в) треугольник T3 был подобен треугольнику T? г) Для каждого натурального числа n выясните, сколько существует неподобных др...
Задача № 173704
Пусть k и n – натуральные числа, k ≤ n. Расставьте первые n² натуральных чисел в таблицу n×n так, чтобы в каждой строке числа шли в порядке возрастания и при этом сумма чисел в k-м столбце была а) наименьшей; б) наибольшей.
Задача № 173654
Если на каждой грани выпуклого многогранника выбрать по точке и провести из этой точки направленный перпендикулярно соответствующей грани во внешнюю сторону вектор, длина которого равна площади этой грани, то сумма всех таких векторов окажется равна нулю. Докажите это.
Задача № 173605
Пустьl1,l2, ...,ln —несколько прямых на плоскости, не все из которых параллельны. Докажите, что можно единственным образом выбрать на каждой из этих прямых по точкеX1,X2, ...,Xnтак, чтобы перпендикуляр, восставленный к прямойlkв точкеXk(для любого натуральногоk < n),проходил через точкуXk + 1, а перпендикуляр, восставленный к прямойlnвточке Xn,проходил черезточку X1.Попробуйте сформулировать и доказать аналогичную теорему в пространстве.
Задача № 164724
В каждой клетке квадрата 8×8 клеток проведена одна из диагоналей. Рассмотрим объединение этих 64 диагоналей. Оно состоит из нескольких связных частей (к одной части относятся точки, между которыми можно пройти по одной или нескольким диагоналям). Может ли количество этих частей быть больше а) 15; б) 20? в) Может ли в аналогичной задаче про квадрат n×n клеток получиться больше чем n²/4 частей (для n > 8)?