Анджанс А. — олимпиадные задачи по математике для 9-11 класса
<i>F</i>(<i>x</i>) – возрастающая функция, определённая на отрезке [0, 1]. Известно, что область её значений принадлежит отрезку [0, 1]. Доказать, что, каково бы ни было натуральное <i>n</i>, график функции можно покрыть <i>N</i> прямоугольниками, стороны которых параллельны осям координат так, что площадь каждого равна <sup>1</sup>/<sub><i>n</i>²</sub>. (В прямоугольник мы включаем его внутренние точки и точки его границы.)
Докажите, что существует бесконечное число пар таких соседних натуральных чисел, что разложение каждого из них содержит любой простой сомножитель не менее чем во второй степени. Примеры таких пар чисел: (8, 9), (288, 289).
<i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ... – возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что <i>a<sub>a<sub>k</sub></sub></i> = 3<i>k</i> для любого <i>k</i>.
Найти а) <i>a</i><sub>100</sub>; б) <i>a</i><sub>1983</sub>.
Внутри правильного <i>n</i>-угольника взята точка, проекции которой на все стороны попадают во внутренние точки сторон. Этими точками стороны разделяются на 2<i>n</i> отрезков. Занумеруем их подряд: 1, 2, 3, ..., 2<i>n</i>. Доказать, что сумма длин отрезков с чётными номерами равна сумме длин отрезков с нечётными номерами.
Несколько ребят стоят по кругу. У каждого есть некоторое количество конфет. Сначала у каждого чётное количество конфет. По команде каждый передает половину своих конфет стоящему справа. Если после этого у кого-нибудь оказалось нечётное количество конфет, то ему извне добавляется одна конфета. Это повторяется много раз. Доказать, что настанет время, когда у всех будет поровну конфет.
Квадрат разбит на <i>n</i>² равных квадратиков. Про некоторую ломаную известно, что она проходит через центры всех квадратиков (ломаная может пересекать сама себя). Каково минимальное число звеньев у этой ломаной?
<i>N</i> друзей одновременно узнали <i>N</i> новостей, причём каждый узнал одну новость. Они стали звонить друг другу и обмениваться новостями.
Каждый разговор длится 1 час. За один разговор можно передать сколько угодно новостей.
Какое минимальное количество часов необходимо, чтобы все узнали все новости? Рассмотрите три случая:
а) <i>N</i> = 64,
б) <i>N</i> = 55,
в) <i>N</i> = 100.
Будем говорить, что две пирамиды <i>соприкасаются гранями</i>, если эти пирамиды не имеют общих внутренних точек и некоторая грань одной пирамиды пересекается с некоторой гранью другой пирамиды по многоугольнику. Можно ли расположить восемь пирамид в пространстве так, чтобы каждые две соприкасались гранями?
64 друга одновременно узнали 64 новости, причём каждый узнал одну новость. Они стали звонить друг другу и обмениваться новостями. Каждый разговор длится 1 час. Какое минимальное количество часов необходимо, чтобы все узнали все новости? (Во время одного разговора можно передать сколько угодно новостей.)
В квадрате со стороной 1 проведено конечное количество отрезков, параллельных его сторонам. Отрезки могут пересекать друг друга. Сумма длин проведенных отрезков равна 18. Докажите, что среди частей, на которые разбивается квадрат этими отрезками, найдётся такая, площадь которой не меньше 0,01.
Дан выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>. Каждая его сторона разбита на <i>k</i> равных частей. Точки деления, принадлежащие стороне <i>AB</i>, соединены прямыми с точками деления, принадлежащими стороне <i>CD</i>, так что первая, считая от <i>A</i>, точка деления соединена с первой точкой деления, считая от <i>D</i>, вторая, считая от <i>A</i>, – со второй, считая от <i>D</i>, и т. д. (первая серия прямых), а точки деления, принадлежащие стороне <i>BC</i>, аналогичным образом соединены с точками деления, принадлежащими стороне <i>DA</i> (вторая серия прямых). Образовалось <i>k</i>² маленьких четырёхугольников. Из них выбрано <i>k</i> четырёхуго...
В таблице <i>N</i>×<i>N</i>, заполненной числами, все строки различны (две строки называются различными, если они отличаются хотя бы в одном элементе).
Докажите, что из таблицы можно вычеркнуть некоторый столбец так, что в оставшейся таблице опять все строки будут различны.
В выпуклом четырёхугольнике прямая, проходящая через середины двух противоположных сторон, образует равные углы с диагоналями четырёхугольника. Докажите, что диагонали равны.