Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Последовательность определяется так: первые её члены – 1, 2, 3, 4, 5. Далее каждый следующий (начиная с 6-го) равен произведению всех предыдущих членов минус 1. Докажите, что сумма квадратов первых 70 членов последовательности равна их произведению.
На отрезке [0, 1] числовой оси расположены четыре точки: a, b, c, d. Докажите, что найдётcя такая точка x, принадлежащая [0, 1], что
Пусть a, b, c, d – такие вещественные числа, что a³ + b³ + c³ + d³ = a + b + c + d = 0. Докажите, что сумма каких-то двух из этих чисел равна нулю.
На плоскости даны прямая l и две точки A и B по одну сторону от неё. На прямой l выбраны точка M, сумма расстояний от которой до точек A и B наименьшая, и точка N, для которой AN = BN. Докажите, что точки A, B, M, N лежат на одной окружности.