Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Последовательность определяется так: первые её члены – 1, 2, 3, 4, 5. Далее каждый следующий (начиная с 6-го) равен произведению всех предыдущих членов минус 1. Докажите, что сумма квадратов первых 70 членов последовательности равна их произведению.
На отрезке [0, 1] числовой оси расположены четыре точки: a, b, c, d. Докажите, что найдётcя такая точка x, принадлежащая [0, 1], что
Докажите, что для любых положительных чисел а1, ..., an справедливо неравенство
Пусть a, b, c, d – такие вещественные числа, что a³ + b³ + c³ + d³ = a + b + c + d = 0. Докажите, что сумма каких-то двух из этих чисел равна нулю.
Сумма шестых степеней шести целых чисел на единицу больше, чем их ушестерённое произведение. Докажите, что одно из чисел равно единице или минус единице, а остальные – нули.
Пусть m, n и k – натуральные числа, причём m > n. Какое из двух чисел больше: или (В каждом выражении k знаков квадратного корня, m и n чередуются.)
Дано натуральное число n. Рассматриваются такие тройки различных натуральных чисел (a, b, c), что a + b + c = n. Возьмём наибольшую возможную такую систему троек, что никакие две тройки системы не имеют общих элементов. Число троек в этой системе обозначим через K(n). Докажите, что а) K(n) > n/6 – 1; б) K(n) < 2n/9.
Дана невозрастающая последовательность неотрицательных чисел a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ ... ≥ a2k+1 ≥ 0. Докажите неравенство:
В таблицу 10×10 нужно записать в каком-то порядке цифры 0, 1, 2, 3, ..., 9 так, что каждая цифра встречалась бы 10 раз. а) Можно ли это сделать так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце встречалось не более четырёх различных цифр? б) Докажите, что найдётся строка или столбец, в которой (в котором) встречается не меньше четырёх различных чисел.
Набор чисел A1, A2, ..., A100 получен некоторой перестановкой из чисел 1, 2, ..., 100. Образуют сто чисел: B1 = A1, B2 = A1 + A2, B3 = A1 + A2 + A3, ..., B100 = A1 + A2 + A3 + ... + A100. Докажите, что среди остатков от деления на 100 чисел B1, B2, ..., B100 найдутся 11 различных.
Точка P расположена внутри квадрата ABCD, причём AP : BP : CP = 1 : 2 : 3. Найдите угол APB.
На плоскости даны прямая l и две точки A и B по одну сторону от неё. На прямой l выбраны точка M, сумма расстояний от которой до точек A и B наименьшая, и точка N, для которой AN = BN. Докажите, что точки A, B, M, N лежат на одной окружности.