Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Последовательность определяется так: первые её члены – 1, 2, 3, 4, 5. Далее каждый следующий (начиная с 6-го) равен произведению всех предыдущих членов минус 1. Докажите, что сумма квадратов первых 70 членов последовательности равна их произведению.
Пусть a, b, c, d – такие вещественные числа, что a³ + b³ + c³ + d³ = a + b + c + d = 0. Докажите, что сумма каких-то двух из этих чисел равна нулю.
В таблицу 10×10 нужно записать в каком-то порядке цифры 0, 1, 2, 3, ..., 9 так, что каждая цифра встречалась бы 10 раз. а) Можно ли это сделать так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце встречалось не более четырёх различных цифр? б) Докажите, что найдётся строка или столбец, в которой (в котором) встречается не меньше четырёх различных чисел.