Протасов В.Ю. — олимпиадные задачи по математике для 9-11 класса
Дана окружность с центром <i>O</i> и радиусом 1. Из точки <i>A</i> к ней проведены касательные <i>AB</i> и <i>AC</i>. Точка <i>M</i>, лежащая на окружности, такова, что четырёхугольники <i>OBMC</i> и <i>ABMC</i> имеют равные площади. Найдите <i>MA</i>.
Дан прямоугольный треугольник <i>ABC</i>. На катете <i>AB</i> во внешнюю сторону построен равносторонний треугольник <i>ADB</i>, а на гипотенузе <i>AC</i> во внутреннюю сторону – равносторонний треугольник <i>AEC</i>. Прямые <i>DE</i> и <i>AB</i> пересекаются в точке <i>M</i>. Весь чертёж стерли, оставив только точки <i>A</i> и <i>B</i>. Восстановите точку <i>M</i>.
Три велосипедиста ездят по кольцевой дороге радиуса 1 км против часовой стрелки с постоянными различными скоростями.
Верно ли, что, если они будут кататься достаточно долго, то найдётся момент, когда расстояние между каждыми двумя из них будет больше 1 км?
Трапеция <i>ABCD</i> вписана в окружность <i>w</i> (<i>AD</i> || <i>BC</i>). Окружности, вписанные в треугольники <i>ABC</i> и <i>ABD</i>, касаются оснований трапеции <i>BC</i> и <i>AD</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Точки <i>X</i> и <i>Y</i> – середины дуг <i>BC</i> и <i>AD</i> окружности <i>w</i>, не содержащих точек <i>A</i> и <i>B</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>XP</i> и <i>YQ</i> пересекаются на окружности <i>w</i>.
Серединный перпендикуляр к стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> пересекает сторону <i>AC</i> в точке <i>K</i>, причём точка <i>K</i> делит ломаную <i>ACB</i> на две части равной длины. Докажите, что треугольник <i>ABC</i> – равнобедренный.
В интервале (0;$\pi$) дано <i>n</i> чисел: <!-- MATH $\alpha_{1}$ --> $\alpha_{1}^{}$, <!-- MATH $\alpha_{2}$ --> $\alpha_{2}^{}$, ..., <!-- MATH $\alpha_{n}$ --> $\alpha_{n}^{}$, при этом <!-- MATH $\alpha_{1}+ \alpha_{2}+\ldots+ \alpha_{n}= \pi (n-2)$ --> $\alpha_{1}^{}$ + $\alpha_{2}^{}$ +...+ $\alpha_{n}^{}$ = $\pi$(<i>n</i> - 2). С помощью циркуля и линейки впишите в данную окружность <i>n</i>-угольник, внутренние углы которого равны соответственно <!-- MATH $\alpha_{1}$ --> $\alpha_{1}^{}$, <!-- MATH $\alpha {2}$ --> $\alpha{2}^{}$, ..., <!-- MATH $\alpha_{n}$ --> $\alpha_{n}^{}$. Когда построение возможно?
Даны прямая <i>l</i> и точки <i>A</i> и <i>B</i> по одну сторону от неё. Постройте путь луча из <i>A</i> в <i>B</i>, который отражается от прямой <i>l</i> по следующему закону: угол падения на $\varphi$ меньше угла отражения.
От данного угла двумя прямыми разрезами длиной 1 отрежьте многоугольник наибольшего возможного периметра.
Какое максимальное число осей симметрии, может иметь объединение <i>k</i> отрезков на плоскости?
Внутри треугольника <i>ABC</i> с углами <!-- MATH $\angle A = 50^{\circ}$ --> $\angle$<i>A</i> = 50<sup><tt>o</tt></sup>, <!-- MATH $\angle B = 60^{\circ}$ --> $\angle$<i>B</i> = 60<sup><tt>o</tt></sup>, <!-- MATH $\angle C = 70^{\circ}$ --> $\angle$<i>C</i> = 70<sup><tt>o</tt></sup> взята точка <i>M</i>, причём <!-- MATH $\angle AMB = 110^{\circ}$ --> $\angle$<i>AMB</i> = 110<sup><tt>o</tt></sup>, <!-- MATH $\angle BMC = 130^{\circ}$ --> $\angle$<i>BMC</i> = 130<sup><tt>o</tt></sup>. Найдите <!-- MATH $\angle MBC$ --> $\angle$<i>MBC...
На сторонах <i>AB</i>, <i>BC</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> взяты соответственно точки <i>D</i>, <i>E</i> и <i>F</i> так, что <i>DE</i> = <i>BE</i>, <i>FE</i> = <i>CE</i>. Докажите, что центр описанной около треугольника <i>ADF</i> окружности лежит на биссектрисе угла <i>DEF</i>.