Протасов В.Ю. — олимпиадные задачи по математике для 2-9 класса
Даны прямая <i>l</i> и точки <i>A</i> и <i>B</i> по одну сторону от неё. Постройте путь луча из <i>A</i> в <i>B</i>, который отражается от прямой <i>l</i> по следующему закону: угол падения на $\varphi$ меньше угла отражения.
От данного угла двумя прямыми разрезами длиной 1 отрежьте многоугольник наибольшего возможного периметра.
Какое максимальное число осей симметрии, может иметь объединение <i>k</i> отрезков на плоскости?
Внутри треугольника <i>ABC</i> с углами <!-- MATH $\angle A = 50^{\circ}$ --> $\angle$<i>A</i> = 50<sup><tt>o</tt></sup>, <!-- MATH $\angle B = 60^{\circ}$ --> $\angle$<i>B</i> = 60<sup><tt>o</tt></sup>, <!-- MATH $\angle C = 70^{\circ}$ --> $\angle$<i>C</i> = 70<sup><tt>o</tt></sup> взята точка <i>M</i>, причём <!-- MATH $\angle AMB = 110^{\circ}$ --> $\angle$<i>AMB</i> = 110<sup><tt>o</tt></sup>, <!-- MATH $\angle BMC = 130^{\circ}$ --> $\angle$<i>BMC</i> = 130<sup><tt>o</tt></sup>. Найдите <!-- MATH $\angle MBC$ --> $\angle$<i>MBC...
На сторонах <i>AB</i>, <i>BC</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> взяты соответственно точки <i>D</i>, <i>E</i> и <i>F</i> так, что <i>DE</i> = <i>BE</i>, <i>FE</i> = <i>CE</i>. Докажите, что центр описанной около треугольника <i>ADF</i> окружности лежит на биссектрисе угла <i>DEF</i>.