Гальперин Г.А. — олимпиадные задачи по математике - сложность 3-5 с решениями
В три сосуда налито по целому числу литров воды. В любой сосуд разрешено перелить столько воды, сколько в нём уже содержится, из любого другого сосуда. Докажите, что несколькими такими переливаниями можно освободить один из сосудов. (Сосуды достаточно велики: каждый может вместить всю воду.)
Четыре круга, центры которых являются вершинами выпуклого четырёхугольника, целиком покрывают этот четырёхугольник. Докажите, что из них можно выбрать три круга, которые покрывают треугольник с вершинами в центрах этих кругов.
Существуют ли такие натуральные <i>n</i> и <i>k</i>, что десятичная запись числа 2<sup><i>n</i></sup> начинается числом 5<sup><i>k</i></sup>, а десятичная запись числа 5<sup><i>n</i></sup> начинается числом 2<sup><i>k</i></sup>?
Существует ли такое натуральное <i>n</i>, что десятичная запись числа 2<sup><i>n</i></sup> начинается цифрой 5, а десятичная запись числа 5<sup><i>n</i></sup> начинается цифрой 2?
Икосаэдр и додекаэдр вписаны в одну и ту же сферу. Докажите, что тогда они описаны вокруг одной и той же сферы.
Гриша записал на доске 100 чисел. Затем он увеличил каждое число на 1 и заметил, что произведение всех 100 чисел не изменилось. Он опять увеличил каждое число на 1, и снова произведение всех чисел не изменилось, и так далее. Всего Гриша повторил эту процедуру <i>k</i> раз, и все <i>k</i> раз произведение чисел не менялось. Найдите наибольшее возможное значение <i>k</i>.
Для каждого натурального числа <i>n</i> обозначим через <i>O</i>(<i>n</i>) его наибольший нечётный делитель. Даны произвольные натуральные числа
<i>х</i><sub>1</sub> = <i>а</i> и <i>х</i><sub>2</sub> = <i>b</i>. Построим бесконечную последовательность натуральных чисел по правилу: <i>x<sub>n</sub> = O</i>(<i>х</i><sub><i>n</i>–1</sub> + <i>х</i><sub><i>n</i>–2</sub>), где <i>n</i> = 3, 4, ... .
а) Докажите, что, начиная с некоторого места, все числа в последовательности будут равны одному и тому же числу.
б) Как найти это число, зная числа <i>a</i>...
Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все диагонали которого равны?
Через две вершины треугольника проведены прямые, разбивающие его на три треугольника и четырёхугольник.
а) Могут ли площади всех четырёх частей быть равны?
б) Какие три из этих частей могут иметь равные площади? Во сколько раз отличается от них площадь четвёртой части?