Гальперин Г.А. — олимпиадные задачи по математике для 8 класса
а) Для каждого трёхзначного числа берём произведение его цифр, а затем эти произведения, вычисленные для всех трёхзначных чисел, складываем. Сколько получится? б) Тот же вопрос для четырёхзначных чисел.
<i>F</i> – выпуклая фигура с двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии. Через точку <i>M</i>, лежащую внутри фигуры и отстоящую от осей на расстояния <i>a</i> и <i>b</i>, провели прямые, параллельные осям. Эти прямые делят <i>F</i> на четыре области. Найдите разность между суммой площадей большей и меньшей из областей и суммой площадей двух других.
Дано <i>n</i> чисел, <i>p</i> – их произведение. Разность между <i>p</i> и каждым из этих чисел – нечётное число. Докажите, что все данные <i>n</i> чисел иррациональны.
В компанию из <i>n</i> человек пришёл журналист. Ему известно, что в этой компании есть человек <i>Z</i>, который знает всех остальных членов компании, но его не знает никто. Журналист может к каждому члену компании обратиться с вопросом: "Знаете ли вы такого-то?"
а) Может ли журналист установить, кто из компании есть <i>Z</i>, задав менее <i>n</i> вопросов?
б) Найдите наименьшее количество вопросов, достаточное для того, чтобы наверняка найти <i>Z</i>, и докажите, что меньшим числом вопросов обойтись нельзя.
(Все отвечают на вопросы правдиво. Одному человеку можно задавать несколько вопросов.)
Задано правило, которое каждой паре чисел <i>x</i>, <i>y</i> ставит в соответствие некоторое число <i>x*y</i>, причём для любых <i>x, y, z</i> выполняются тождества:
1) <i>x</i>*<i>x</i> = 0,
2) <i>x</i>(<i>y</i><i>z</i>) = (<i>x</i>*<i>y</i>) + <i>z</i>.
Найдите 1993*1932.
Докажите, что
<img align="middle" src="/storage/problem-media/98103/problem_98103_img_2.gif">
Дано:
<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98065/problem_98065_img_2.gif">
Докажите, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98065/problem_98065_img_3.gif">
Решить в натуральных числах уравнение: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98024/problem_98024_img_2.gif">
В каждой вершине куба стоит число +1 или –1. В центре каждой грани куба поставлено число, равное произведению чисел в вершинах этой грани.
Может ли сумма получившихся 14 чисел оказаться равной 0?
Через вершины <i>A</i> и <i>B</i> треугольника <i>ABC</i> проведены две прямые, которые разбивают его на четыре фигуры (три треугольника и один четырёхугольник). Известно, что три из этих фигур имеют одинаковую площадь. Докажите, что одна из этих фигур – четырёхугольник.
Рассматриваются девятизначные числа, состоящие из неповторяющихся цифр от 1 до 9 в разном порядке. Пара таких чисел называется <i>кондиционной</i>, если их сумма равна 987654321.
а) Доказать, что найдутся хотя бы две кондиционные пары  ((<i>a, b</i>)  и  (<i>b, a</i>)  – одна и та же пара).
б) Доказать, что кондиционных пар – нечётное число.
Рассматривается последовательность 1, ½, ⅓, ¼, ⅕, ⅙, <sup>1</sup>/<sub>7</sub>, ... Существует ли арифметическая прогрессия
а) длины 5;
б) сколь угодно большой длины,
составленная из членов этой последовательности?
Сколько в выпуклом многоугольнике может быть сторон, равных наибольшей диагонали?
Четыре круга, центры которых являются вершинами выпуклого четырёхугольника, целиком покрывают этот четырёхугольник. Докажите, что из них можно выбрать три круга, которые покрывают треугольник с вершинами в центрах этих кругов.
Отрезки $AA', BB'$ и $CC'$ с концами на сторонах остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $P$ внутри треугольника. На каждом из этих отрезков как на диаметре построена окружность, в которой перпендикулярно этому диаметру проведена хорда через точку $P$. Оказалось, что три проведённые хорды имеют одинаковую длину. Докажите, что $P$ – точка пересечения высот треугольника $ABC$.
Имеется железная гиря в 6 кг, сахар и невесомые пакеты в неограниченном количестве, а также нестандартные весы с двумя чашами: весы находятся в равновесии, если грузы на левой и правой чашах относятся как 3 : 4. За одно взвешивание можно положить на весы любые уже имеющиеся грузы и добавить на одну из чаш пакет с таким количеством сахара, чтобы чаши уравновесились (такие пакеты с сахаром можно использовать при дальнейших взвешиваниях). Удастся ли отмерить 1 кг сахара?
a) Написаны 2007 натуральных чисел, больших 1. Докажите, что удастся зачеркнуть одно число так, чтобы произведение оставшихся можно было представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел. б) Написаны 2007 натуральных чисел, больших 1, одно из которых равно 2006. Оказалось, что есть только одно такое число среди написанных, что произведение оставшихся представляется в виде разности квадратов двух натуральных чисел. Докажите, что это число – 2006.
Дан треугольник <i>ABC</i>. Точки <i>M</i><sub>1</sub>, <i>M</i><sub>2</sub>, <i>M</i><sub>3</sub> – середины сторон <i>AB, BC</i> и <i>AC</i>, a точки <i>H</i><sub>1</sub>, <i>H</i><sub>2</sub>, <i>H</i><sub>3</sub> – основания высот, лежащие на тех же сторонах.
Докажите, что из отрезков <i>H</i><sub>1</sub><i>M</i><sub>2</sub>, <i>H</i><sub>2</sub><i>M</i><sub>3</sub> и <i>H</i><sub>3</sub><i>M</i><sub>1</sub> можно построить треугольник.
Каждая грань прямоугольного параллелепипеда 3×4×5 разделена на единичные квадратики. Можно ли вписать во все квадратики по числу так, чтобы сумма чисел в каждом клетчатом кольце ширины 1, опоясывающем параллелепипед, равнялась 120?
Сумма <i>n</i> последовательных натуральных чисел – простое число. Найдите все <i>n</i>, при которых это возможно.
Для каждого натурального числа <i>n</i> обозначим через <i>O</i>(<i>n</i>) его наибольший нечётный делитель. Даны произвольные натуральные числа
<i>х</i><sub>1</sub> = <i>а</i> и <i>х</i><sub>2</sub> = <i>b</i>. Построим бесконечную последовательность натуральных чисел по правилу: <i>x<sub>n</sub> = O</i>(<i>х</i><sub><i>n</i>–1</sub> + <i>х</i><sub><i>n</i>–2</sub>), где <i>n</i> = 3, 4, ... .
а) Докажите, что, начиная с некоторого места, все числа в последовательности будут равны одному и тому же числу.
б) Как найти это число, зная числа <i>a</i>...
На плоскости даны несколько точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые точки соединены отрезками. Известно, что любая прямая, не проходящая через данные точки, пересекает чётное число отрезков. Докажите, что из каждой точки выходит чётное число отрезков.
В выпуклом 2009-угольнике проведены все диагонали. Прямая пересекает 2009-угольник, но не проходит через его вершины.
Докажите, что прямая пересекает чётное число диагоналей.
Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все диагонали которого равны?
Через две вершины треугольника проведены прямые, разбивающие его на три треугольника и четырёхугольник.
а) Могут ли площади всех четырёх частей быть равны?
б) Какие три из этих частей могут иметь равные площади? Во сколько раз отличается от них площадь четвёртой части?