Заславский А.А. — олимпиадные задачи по математике - сложность 4 с решениями
Четырёхугольник <i>ABCD</i> описан около окружности с центром <i>I</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i> – середины диагоналей <i>AC</i> и <i>BD</i>.
Докажите, что четырёхугольник <i>ABCD</i> – вписанный тогда и только тогда, когда <i>IM</i> : <i>AC = IN</i> : <i>BD</i>.
Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность с центром <i>O</i>. Биссектрисы его углов образуют четырёхугольник, вписанный в окружность с центром <i>I</i>, а биссектрисы внешних углов – четырёхугольник, вписанный в окружность с центром <i>J</i>. Докажите, что <i>O</i> – середина отрезка <i>IJ</i>.
Две окружности радиуса 1 пересекаются в точках <i>X, Y</i>, расстояние между которыми тоже равно 1. Из точки <i>C</i> одной окружности проведены к другой касательные <i>CA, CB</i>, вторично пересекающие первую окружность в точках <i>B', A'</i>. Прямые <i>AA'</i> и <i>BB'</i> пересекаются в точке <i>Z</i>. Найдите угол <i>XZY</i>.
Четырёхугольник <i>ABCD</i> описан около окружности с центром <i>I</i>. Касательные к описанной окружности треугольника <i>AIC</i> в точках <i>A, C</i> пересекаются в точке <i>X</i>. Касательные к описанной окружности треугольника <i>BID</i> в точках <i>B, D</i> пересекаются в точке <i>Y</i>. Докажите, что точки <i>X, I, Y</i> лежат на одной прямой.
В треугольнике <i>ABC</i> отметили точки <i>A'</i>, <i>B'</i> касания сторон <i>BC, AC</i> c вписанной окружностью и точку <i>G</i> пересечения отрезков <i>AA'</i> и <i>BB'</i>. После этого сам треугольник стерли. Восстановите его с помощью циркуля и линейки.
Общие перпендикуляры к противоположным сторонам пространственного четырёхугольника взаимно перпендикулярны.
Докажите, что они пересекаются.
Трапеция <i>ABCD</i> вписана в окружность <i>w</i> (<i>AD</i> || <i>BC</i>). Окружности, вписанные в треугольники <i>ABC</i> и <i>ABD</i>, касаются оснований трапеции <i>BC</i> и <i>AD</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Точки <i>X</i> и <i>Y</i> – середины дуг <i>BC</i> и <i>AD</i> окружности <i>w</i>, не содержащих точек <i>A</i> и <i>B</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>XP</i> и <i>YQ</i> пересекаются на окружности <i>w</i>.