Заславский А.А. — олимпиадные задачи по математике - сложность 3-5 с решениями

В треугольнике <i>ABC</i> отметили центр вписанной окружности, основание высоты, опущенной на сторону <i>AB</i>, и центр вневписанной окружности, касающейся этой стороны и продолжений двух других. После этого сам треугольник стёрли. Восстановите его.

В треугольнике <i>ABC  M</i> – точка пересечения медиан, <i>I</i> – центр вписанной окружности, <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁ – точки касания этой окружности со сторонами <i>BC</i> и <i>AC, G</i> – точка пересечения прямых <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁. Докажите, что угол <i>CGI</i> прямой тогда и только тогда, когда   <i>GM || AB</i>.

Радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника <i>ABC</i> равны <i>R</i> и <i>r</i>; <i>O, I</i> – центры этих окружностей. Внешняя биссектриса угла <i>C</i> пересекает прямую <i>AB</i> в точке <i>P</i>. Точка <i>Q</i> – проекция точки <i>P</i> на прямую <i>OI</i>. Найдите расстояние <i>OQ</i>.

В трапеции <i>ABCD</i> с основаниями <i>AD</i> и <i>BC</i>  <i>P</i> и <i>Q</i> – середины диагоналей <i>AC</i> и <i>BD</i> соответственно. Докажите, что если ∠<i>DAQ</i> = ∠<i>CAB</i>, то ∠<i>PBA</i> = ∠<i>DBC</i>.

На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> взяты такие точки <i>X</i>, <i>Y</i>, что  <i>AX = BY</i>.  Прямые <i>CX</i> и <i>CY</i> вторично пересекают описанную окружность треугольника в точках <i>U</i> и <i>V</i>. Докажите, что все прямые <i>UV</i> проходят через одну точку.

Дан прямоугольник <i>ABCD</i> и точка <i>P</i>. Прямые, проходящие через <i>A</i> и <i>B</i> и перпендикулярные, соответственно, <i>PC</i> и <i>PD</i>, пересекаются в точке <i>Q</i>.

Докажите, что  <i>PQ</i> ⊥ <i>AB</i>.

Найдите геометрическое место центров правильных треугольников, стороны которых проходят через три заданные точки <i>A, B, C</i> (то есть на каждой стороне или ее продолжении лежит ровно одна из заданных точек).

Два выпуклых четырёхугольника таковы, что стороны каждого лежат на серединных перпендикулярах к сторонам другого. Найдите их углы.

Три окружности проходят через точку <i>P</i>, а вторые точки их пересечения <i>A, B, C</i> лежат на одной прямой. <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ – вторые точки пересечения прямых <i>AP, BP, CP</i> с соответствующими окружностями. <i>C</i>₂ – точка пересечения прямых <i>AB</i>₁ и <i>BA</i>₁.  <i>A</i>₂, <i>B</i>₂ определяются аналогично.

Докажите, что треугольники <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i><sub...

В неравнобедренном треугольнике две медианы равны двум высотам. Найдите отношение третьей медианы к третьей высоте.

В треугольнике<i> ABC </i>точка<i> I </i> — центр вписанной окружности. Точки<i> M </i>и<i> N </i> — середины сторон<i> BC </i>и<i> AC </i>соответственно. Известно, что угол<i> AIN </i>прямой. Докажите, что угол <i> BIM </i> — также прямой.

Стороны<i> BC </i>и<i> AC </i>треугольника<i> ABC </i>касаются соответствующих вневписанных окружностей в точках<i> A₁ </i>,<i> B₁ </i>. Пусть<i> A₂ </i>,<i> B₂ </i>— ортоцентры треугольников<i> CAA₁ </i>и<i> CBB₁ </i>. Докажите, что прямая<i> A₂B₂ </i>перпендикулярна биссектрисе угла<i> C </i>.

Дана треугольная пирамида. Леша хочет выбрать два ее скрещивающихся ребра и на них, как на диаметрах, построить шары. Всегда ли он может выбрать такую пару, что любая точка пирамиды лежит хотя бы в одном из этих шаров?

В бесконечной последовательности  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ... число <i>a</i>₁ равно 1, а каждое следующее число <i>a_n</i> строится из предыдущего <i>a</i>_<i>n</i>–1 по правилу: если у числа <i>n</i> наибольший нечётный делитель имеет остаток 1 от деления на 4, то  <i>a_n = a</i>_<i>n</i>–1 + 1,  если же остаток равен 3, то  <i>a_n = a</i>_<i>n</i>–1 – 1.  Докажите, что в этой последовательности

  а) число 1 встреч...

На сторонах <i>AC</i> и <i>BC</i> неравнобедренного треугольника <i>ABC</i> во внешнюю сторону построены как на основаниях равнобедренные треугольники <i>AB'C</i> и <i>CA'B</i> с одинаковыми углами при основаниях, равными φ. Перпендикуляр, проведённый из вершины <i>C</i> к отрезку <i>A'B'</i>, пересекает серединный перпендикуляр к отрезку <i>AB</i> в точке <i>C</i>₁. Найдите угол <i>AC</i>₁<i>B</i>.

Высоты <i>AA'</i> и <i>CC'</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>H</i>. Точка <i>B</i>₀ – середина стороны <i>AC</i>.

Докажите, что точка пересечения прямых, симметричных <i>BB</i>₀ и <i>HB</i>₀ относительно биссектрис углов <i>B</i> и <i>AHC</i> соответственно, лежит на прямой <i>A'C'</i>.

Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку пересечения высот неравностороннего треугольника <i>ABC</i>, делит его периметр и площадь в одном и том же отношении. Найдите это отношение.

Две равные окружности пересекаются в точках<i> A </i>и<i> B </i>.<i> P </i>– отличная от<i> A </i>и<i> B </i>точка одной из окружностей,<i> X </i>,<i> Y </i>– вторые точки пересечения прямых<i> PA </i>,<i> PB </i>с другой окружностью. Докажите, что прямая, проходящая через<i> P </i>и перпендикулярная<i> AB </i>, делит одну из дуг<i> XY </i>пополам.

На доске был нарисован четырехугольник, в который можно вписать и около которого можно описать окружность. В нем отметили центры этих окружностей и точку пересечения прямых, соединяющих середины противоположных сторон, после чего сам четырехугольник стерли. Восстановите его с помощью циркуля и линейки.

Прямые, содержащие медианы треугольника <i>ABC</i>, вторично пересекают его описанную окружность в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁. Прямые, проходящие через <i>A, B, C </i> и параллельные противоположным сторонам, пересекают ее же в точках <i>A</i>₂, <i>B</i>₂, <i>C</i>₂. Докажите, что прямые <i>A</i>₁<i>A</i>₂, <i>B</i>₁<i>B</i>₂, <i>C</i>₁<i>C</i><sub>2</sub&...

Проекции точки <i>X</i> на стороны четырёхугольника <i>ABCD</i> лежат на одной окружности. <i>Y</i> – точка, симметричная <i>X</i> относительно центра этой окружности. Докажите, что проекции точки <i>B</i> на прямые <i>AX, XC, CY, YA</i> также лежат на одной окружности.

Куб с ребром2<i>n+</i>1разрезают на кубики с ребром 1 и бруски размера2<i>x </i>2<i>x </i>1. Какое наименьшее количество единичных кубиков может при этом получиться?

Постройте треугольник, если даны центр вписанной в него окружности, середина одной из сторон и основание опущенной на эту сторону высоты.

В шестиугольнике <i>ABCDEF  AB = BC,  CD = DE,  EF = FA</i>  и  ∠<i>A</i> = ∠<i>C</i> = ∠<i>E</i>.

Докажите, что главные диагонали шестиугольника пересекаются в одной точке.

Найдите геометрическое место точек пересечения высот треугольников, у которых даны середина одной стороны и основания высот, опущенных на две другие.