Заславский А.А. — олимпиадные задачи по математике - сложность 3 с решениями

Найдите геометрическое место центров правильных треугольников, стороны которых проходят через три заданные точки <i>A, B, C</i> (то есть на каждой стороне или ее продолжении лежит ровно одна из заданных точек).

Два выпуклых четырёхугольника таковы, что стороны каждого лежат на серединных перпендикулярах к сторонам другого. Найдите их углы.

Три окружности проходят через точку <i>P</i>, а вторые точки их пересечения <i>A, B, C</i> лежат на одной прямой. <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ – вторые точки пересечения прямых <i>AP, BP, CP</i> с соответствующими окружностями. <i>C</i>₂ – точка пересечения прямых <i>AB</i>₁ и <i>BA</i>₁.  <i>A</i>₂, <i>B</i>₂ определяются аналогично.

Докажите, что треугольники <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i><sub...

В неравнобедренном треугольнике две медианы равны двум высотам. Найдите отношение третьей медианы к третьей высоте.

В треугольнике<i> ABC </i>точка<i> I </i> — центр вписанной окружности. Точки<i> M </i>и<i> N </i> — середины сторон<i> BC </i>и<i> AC </i>соответственно. Известно, что угол<i> AIN </i>прямой. Докажите, что угол <i> BIM </i> — также прямой.

На сторонах <i>AC</i> и <i>BC</i> неравнобедренного треугольника <i>ABC</i> во внешнюю сторону построены как на основаниях равнобедренные треугольники <i>AB'C</i> и <i>CA'B</i> с одинаковыми углами при основаниях, равными φ. Перпендикуляр, проведённый из вершины <i>C</i> к отрезку <i>A'B'</i>, пересекает серединный перпендикуляр к отрезку <i>AB</i> в точке <i>C</i>₁. Найдите угол <i>AC</i>₁<i>B</i>.

Высоты <i>AA'</i> и <i>CC'</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>H</i>. Точка <i>B</i>₀ – середина стороны <i>AC</i>.

Докажите, что точка пересечения прямых, симметричных <i>BB</i>₀ и <i>HB</i>₀ относительно биссектрис углов <i>B</i> и <i>AHC</i> соответственно, лежит на прямой <i>A'C'</i>.

Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку пересечения высот неравностороннего треугольника <i>ABC</i>, делит его периметр и площадь в одном и том же отношении. Найдите это отношение.

Две равные окружности пересекаются в точках<i> A </i>и<i> B </i>.<i> P </i>– отличная от<i> A </i>и<i> B </i>точка одной из окружностей,<i> X </i>,<i> Y </i>– вторые точки пересечения прямых<i> PA </i>,<i> PB </i>с другой окружностью. Докажите, что прямая, проходящая через<i> P </i>и перпендикулярная<i> AB </i>, делит одну из дуг<i> XY </i>пополам.

Куб с ребром2<i>n+</i>1разрезают на кубики с ребром 1 и бруски размера2<i>x </i>2<i>x </i>1. Какое наименьшее количество единичных кубиков может при этом получиться?

В шестиугольнике <i>ABCDEF  AB = BC,  CD = DE,  EF = FA</i>  и  ∠<i>A</i> = ∠<i>C</i> = ∠<i>E</i>.

Докажите, что главные диагонали шестиугольника пересекаются в одной точке.

Найдите геометрическое место точек пересечения высот треугольников, у которых даны середина одной стороны и основания высот, опущенных на две другие.

Даны две окружности, пересекающиеся в точках<i> P </i>и<i> Q </i>.<i> C </i>– произвольная точка одной из окружностей, отличная от<i> P </i>и<i> Q </i>;<i> A </i>,<i> B </i>– вторые точки пересечения прямых<i> CP </i>,<i> CQ </i>с другой окружностью. Найдите геометрическое место центров окружностей, описанных около треугольников<i> ABC </i>.

Дан тетраэдр<i>ABCD</i>. Вписанная в него сфера σ касается грани<i>ABC</i>в точке<i>T</i>. Сфера σ' касается грани<i>ABC</i>в точке<i>T'</i>и продолжений граней<i>ABD, BCD, CAD</i>. Докажите, что прямые<i>AT</i>и<i>AT'</i>симметричны относительно биссектрисы угла<i>BAC</i>.

Треугольник<i> ABC </i>вписан в окружность с центром в<i> O </i>.<i> X </i>"– произвольная точка внутри треугольника<i> ABC </i>, такая, что<i> <img src="/storage/problem-media/109492/problem_109492_img_2.gif"> XAB=<img src="/storage/problem-media/109492/problem_109492_img_2.gif"> XBC=ϕ </i>, а<i> P </i>– такая точка, что<i> PX<img src="/storage/problem-media/109492/problem_109492_img_3.gif"> OX </i>,<i> <img src="/storage/problem-media/109492/problem_109492_img_2.gif"> XOP=ϕ </i>, причем углы<i> <img src="/storage/problem-media/109492/problem_109492_img_2.gif"> XOP </i>и<i> <img src="/...

Четырёхугольник <i>ABCD</i> с попарно непараллельными сторонами описан около окружности с центром <i>O</i>. Докажите, что точка <i>O</i> совпадает с точкой пересечения средних линий четырёхугольника <i>ABCD</i> тогда и только тогда, когда  <i>OA·OC = OB·OD</i>.

На сторонах<i> AB </i>,<i> BC </i>и<i> AC </i>треугольника<i> ABC </i>взяты точки<i> C' </i>,<i> A' </i>и<i> B' </i>соответственно. Докажите, что площадь треугольника<i> A'B'C' </i>равна <center><i>

<img src="/storage/problem-media/108170/problem_108170_img_2.gif">,

</i></center> где<i> R </i>– радиус описанной окружности треугольника<i> ABC </i>.

В неравнобедреном треугольнике <i>ABC</i> точка <i>I</i> – центр вписанной окружности, <i>I'</i> – центр окружности, касающейся стороны <i> AB </i> и продолжений сторон <i>CB</i> и <i>CA; L</i> и <i>L'</i> – точки, в которых сторона <i>AB</i> касается этих окружностей.

Докажите, что прямые <i>IL', I'L</i> и высота <i>CH</i> треугольника <i>ABC</i> пересекаются в одной точке.

Дан вписанный четырёхугольник <i>ABCD</i>. Точки <i>P</i> и <i>Q</i> симметричны точке <i>C</i> относительно прямых <i>AB</i> и <i>AD</i> соответственно.

Докажите, что прямая <i> PQ </i> проходит через ортоцентр <i>H</i> треугольника <i>ABD</i>.

Окружность Ω₁ проходит через центр окружности Ω₂. Из точки <i>C</i>, лежащей на Ω₁, проведены касательные к Ω₂, вторично пересекающие Ω₁ в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Докажите, что отрезок <i>AB</i> перпендикулярен линии центров окружностей.

Хорды <i>AC</i> и <i>BD</i> окружности с центром <i>O</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Пусть <i>M</i> и <i>N</i> – центры описанных окружностей треугольников <i>AKB</i> и <i>CKD</i> соответственно. Докажите, что  <i>OM = KN</i>.

Внутри вписанного четырёхугольника <i>ABCD</i> существует точка <i>K</i>, расстояния от которой до сторон <i>ABCD</i> пропорциональны этим сторонам.

Доказать, что <i>K</i> – точка пересечения диагоналей <i>ABCD</i>.

Точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ – середины сторон правильного треугольника <i>ABC</i>. Три параллельные прямые, проходящие через <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁, пересекают, соответственно, прямые <i>B</i>₁<i>C</i>₁, <i>C</i>₁<i>A</i>₁, <i>A</i>₁<i>B</i>₁ в точках <i>A</i>₂, <i>B</i>₂, <i...

Пусть <i>H</i> – ортоцентр треугольника <i>ABC, X</i> – произвольная точка. Окружность с диаметром <i>XH</i> вторично пересекает прямые <i>AH, BH, CH</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁, а прямые <i>AX, BX, CX</i> в точках <i>A</i>₂, <i>B</i>₂, <i>C</i>₂. Доказать, что прямые <i>A</i>₁<i>A</i>₂, <i>B</i>₁<i>B</i>₂, <i> C</i>₁<i>C</i&...

Две окружности радиуса 1 пересекаются в точках <i>X, Y</i>, расстояние между которыми также равно 1. Из точки <i>C</i> одной окружности проведены касательные <i>CA, CB</i> к другой. Прямая <i>CB</i> вторично пересекает первую окружность в точке <i>A'</i>. Найти расстояние <i>AA'</i>.