Заславский А.А. — олимпиадные задачи по математике - сложность 1-3 с решениями
В треугольнике <i>ABC</i> отметили центр вписанной окружности, основание высоты, опущенной на сторону <i>AB</i>, и центр вневписанной окружности, касающейся этой стороны и продолжений двух других. После этого сам треугольник стёрли. Восстановите его.
В треугольнике <i>ABC M</i> – точка пересечения медиан, <i>I</i> – центр вписанной окружности, <i>A</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>1</sub> – точки касания этой окружности со сторонами <i>BC</i> и <i>AC, G</i> – точка пересечения прямых <i>AA</i><sub>1</sub> и <i>BB</i><sub>1</sub>. Докажите, что угол <i>CGI</i> прямой тогда и только тогда, когда <i>GM || AB</i>.
Радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника <i>ABC</i> равны <i>R</i> и <i>r</i>; <i>O, I</i> – центры этих окружностей. Внешняя биссектриса угла <i>C</i> пересекает прямую <i>AB</i> в точке <i>P</i>. Точка <i>Q</i> – проекция точки <i>P</i> на прямую <i>OI</i>. Найдите расстояние <i>OQ</i>.
В трапеции <i>ABCD</i> с основаниями <i>AD</i> и <i>BC</i> <i>P</i> и <i>Q</i> – середины диагоналей <i>AC</i> и <i>BD</i> соответственно. Докажите, что если ∠<i>DAQ</i> = ∠<i>CAB</i>, то ∠<i>PBA</i> = ∠<i>DBC</i>.
На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> взяты такие точки <i>X</i>, <i>Y</i>, что <i>AX = BY</i>. Прямые <i>CX</i> и <i>CY</i> вторично пересекают описанную окружность треугольника в точках <i>U</i> и <i>V</i>. Докажите, что все прямые <i>UV</i> проходят через одну точку.
Дан прямоугольник <i>ABCD</i> и точка <i>P</i>. Прямые, проходящие через <i>A</i> и <i>B</i> и перпендикулярные, соответственно, <i>PC</i> и <i>PD</i>, пересекаются в точке <i>Q</i>.
Докажите, что <i>PQ</i> ⊥ <i>AB</i>.
Найдите геометрическое место центров правильных треугольников, стороны которых проходят через три заданные точки <i>A, B, C</i> (то есть на каждой стороне или ее продолжении лежит ровно одна из заданных точек).
Два выпуклых четырёхугольника таковы, что стороны каждого лежат на серединных перпендикулярах к сторонам другого. Найдите их углы.
Три окружности проходят через точку <i>P</i>, а вторые точки их пересечения <i>A, B, C</i> лежат на одной прямой. <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>1</sub> – вторые точки пересечения прямых <i>AP, BP, CP</i> с соответствующими окружностями. <i>C</i><sub>2</sub> – точка пересечения прямых <i>AB</i><sub>1</sub> и <i>BA</i><sub>1</sub>. <i>A</i><sub>2</sub>, <i>B</i><sub>2</sub> определяются аналогично.
Докажите, что треугольники <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub...
Хорды <i>AC</i> и <i>BD</i> окружности пересекаются в точке <i>P</i>. Перпендикуляры к <i>AC</i> и <i>BD</i> в точках <i>C</i> и <i>D</i>, соответственно пересекаются в точке <i> Q </i>.
Докажите, что прямые <i>AB</i> и <i>PQ</i> перпендикулярны.
В неравнобедренном треугольнике две медианы равны двум высотам. Найдите отношение третьей медианы к третьей высоте.
В треугольнике<i> ABC </i>точка<i> I </i> — центр вписанной окружности. Точки<i> M </i>и<i> N </i> — середины сторон<i> BC </i>и<i> AC </i>соответственно. Известно, что угол<i> AIN </i>прямой. Докажите, что угол <i> BIM </i> — также прямой.
На сторонах <i>AC</i> и <i>BC</i> неравнобедренного треугольника <i>ABC</i> во внешнюю сторону построены как на основаниях равнобедренные треугольники <i>AB'C</i> и <i>CA'B</i> с одинаковыми углами при основаниях, равными φ. Перпендикуляр, проведённый из вершины <i>C</i> к отрезку <i>A'B'</i>, пересекает серединный перпендикуляр к отрезку <i>AB</i> в точке <i>C</i><sub>1</sub>. Найдите угол <i>AC</i><sub>1</sub><i>B</i>.
Середина одной из сторон треугольника и основания высот, опущенных на две другие стороны, образуют равносторонний треугольник.
Верно ли, что исходный треугольник тоже равносторонний?
Высоты <i>AA'</i> и <i>CC'</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>H</i>. Точка <i>B</i><sub>0</sub> – середина стороны <i>AC</i>.
Докажите, что точка пересечения прямых, симметричных <i>BB</i><sub>0</sub> и <i>HB</i><sub>0</sub> относительно биссектрис углов <i>B</i> и <i>AHC</i> соответственно, лежит на прямой <i>A'C'</i>.
В кубке Водоканала по футболу участвовали команды "Помпа", "Фильтр", "Насос" и "Шлюз". Каждая команда сыграла с каждой из остальных по одному разу (за победу давалось 3 очка, за ничью – 1, за проигрыш – 0). Команда "Помпа" набрала больше всех очков, команда "Шлюз" – меньше всех. Могло ли оказаться так, что "Помпа" обогнала "Шлюз" всего на 2 очка?
Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку пересечения высот неравностороннего треугольника <i>ABC</i>, делит его периметр и площадь в одном и том же отношении. Найдите это отношение.
Две равные окружности пересекаются в точках<i> A </i>и<i> B </i>.<i> P </i>– отличная от<i> A </i>и<i> B </i>точка одной из окружностей,<i> X </i>,<i> Y </i>– вторые точки пересечения прямых<i> PA </i>,<i> PB </i>с другой окружностью. Докажите, что прямая, проходящая через<i> P </i>и перпендикулярная<i> AB </i>, делит одну из дуг<i> XY </i>пополам.
Куб с ребром2<i>n+</i>1разрезают на кубики с ребром 1 и бруски размера2<i>x </i>2<i>x </i>1. Какое наименьшее количество единичных кубиков может при этом получиться?
В шестиугольнике <i>ABCDEF AB = BC, CD = DE, EF = FA</i> и ∠<i>A</i> = ∠<i>C</i> = ∠<i>E</i>.
Докажите, что главные диагонали шестиугольника пересекаются в одной точке.
Найдите геометрическое место точек пересечения высот треугольников, у которых даны середина одной стороны и основания высот, опущенных на две другие.
Даны две окружности, пересекающиеся в точках<i> P </i>и<i> Q </i>.<i> C </i>– произвольная точка одной из окружностей, отличная от<i> P </i>и<i> Q </i>;<i> A </i>,<i> B </i>– вторые точки пересечения прямых<i> CP </i>,<i> CQ </i>с другой окружностью. Найдите геометрическое место центров окружностей, описанных около треугольников<i> ABC </i>.
Дан тетраэдр<i>ABCD</i>. Вписанная в него сфера σ касается грани<i>ABC</i>в точке<i>T</i>. Сфера σ' касается грани<i>ABC</i>в точке<i>T'</i>и продолжений граней<i>ABD, BCD, CAD</i>. Докажите, что прямые<i>AT</i>и<i>AT'</i>симметричны относительно биссектрисы угла<i>BAC</i>.
Номер нынешней олимпиады (70) образован последними цифрами года её проведения, записанными в обратном порядке.
Сколько еще раз повторится такая ситуация в этом тысячелетии?
Треугольник<i> ABC </i>вписан в окружность с центром в<i> O </i>.<i> X </i>"– произвольная точка внутри треугольника<i> ABC </i>, такая, что<i> <img src="/storage/problem-media/109492/problem_109492_img_2.gif"> XAB=<img src="/storage/problem-media/109492/problem_109492_img_2.gif"> XBC=ϕ </i>, а<i> P </i>– такая точка, что<i> PX<img src="/storage/problem-media/109492/problem_109492_img_3.gif"> OX </i>,<i> <img src="/storage/problem-media/109492/problem_109492_img_2.gif"> XOP=ϕ </i>, причем углы<i> <img src="/storage/problem-media/109492/problem_109492_img_2.gif"> XOP </i>и<i> <img src="/...