Фольклор — олимпиадные задачи по математике - сложность 1 с решениями
Hа доске была нарисована система координат и отмечены точки <i>A</i>(1, 2) и <i>B</i>(3, 1). Cистему координат стерли.
Bосстановите ее по двум отмеченным точкам.
На рисунке изображен параллелограмм и отмечена точка <i>P</i> пересечения его диагоналей. Проведите через <i>P</i> прямую так, чтобы она разбила параллелограмм на две части, из которых можно сложить ромб.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116078/problem_116078_img_2.png"></div>
Существует ли натуральное число, которое при делении на сумму своих цифр как в частном, так и в остатке дает число 2011?
В трапеции <i>ABCD</i> биссектриса тупого угла <i>B</i> пересекает основание <i>AD</i> в точке <i>K</i> – его середине, <i>M</i> – середина <i>BC, AB = BC</i>.
Найдите отношение <i>KM</i> : <i>BD</i>.
Найдите наибольшее натуральное <i>n</i>, при котором <i>n</i><sup>200</sup> < 5<sup>300</sup>.
На доске записаны числа 1, 2<sup>1</sup>, 2², 2³, 2<sup>4</sup>, 2<sup>5</sup>. Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность – неотрицательное число.
Может ли на доске в результате нескольких таких операций остаться только число 15?
В равнобокой трапеции <i>AВСD</i> основания <i>AD</i> и <i>ВС</i> равны 12 и 6 соответственно, а высота равна 4. Сравните углы <i>ВАС</i> и <i>САD</i>.
На координатной плоскости изображен график функции <i>y = ax</i>² + <i>c</i> (см. рисунок). В каких точках график функции <i>y = cx + a</i> пересекает оси координат? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116009/problem_116009_img_2.gif"></div>
Найдите наименьшее число, кратное 45, десятичная запись которого состоит только из единиц и нулей.
Известно, что разность кубов корней квадратного уравнения <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0 равна 2011. Сколько корней имеет уравнение <i>ax</i>² + 2<i>bx</i> + 4<i>c</i> = 0?
Найдите<i>x</i><sup>3</sup>+<i>y</i><sup>3</sup>, если известно, что<i>x + y</i>= 5 и<i>x + y + x</i><sup>2</sup><i>y</i>+<i>xy</i><sup>2</sup>= 24.
Можно ли найти десять таких последовательных натуральных чисел, что сумма их квадратов равна сумме квадратов следующих за ними девяти последовательных натуральных чисел?
На экране компьютера горит число, которое каждую минуту увеличивается на 102. Начальное значение числа 123. Программист Федя имеет возможность в любой момент изменять порядок цифр числа, находящегося на экране. Может ли он добиться того, чтобы число никогда не стало четырёхзначным?
10 друзей послали друг другу праздничные открытки, так что каждый послал пять открыток.
Докажите, что найдутся двое, которые послали открытки друг другу.
Доказать, что в вершинах многогранника можно расставить натуральные числа так, что в каждых двух вершинах, соединённых ребром, стоят числа не взаимно простые, а в каждых двух вершинах, не соединённых ребром, взаимно простые.
<i>Примечание</i>: простых чисел бесконечно много.
Докажите, что из любых семи натуральных чисел (не обязательно идущих подряд) можно выбрать три числа, сумма которых делится на 3.
Известно, что доля блондинов среди голубоглазых больше чем доля блондинов среди всех людей.
Что больше: доля голубоглазых среди блондинов или доля голубоглазых среди всех людей?
<i>p</i>(<i>x</i>) – многочлен с целыми коэффициентами. Известно, что для некоторых целых <i>a</i> и <i>b</i> выполняется равенство: <i>p</i>(<i>a</i>) – <i>p</i>(<i>b</i>) = 1.
Докажите, что <i>a</i> и <i>b</i> различаются на 1.
Докажите, что при любом <i>a</i> имеет место неравенство: 3(1 + <i>a</i>² + <i>a</i><sup>4</sup>) ≥ (1 + <i>a + a</i>²)².
Найти все целые решения уравнения <i>y</i><sup><i>k</i></sup> = <i>x</i>² + <i>x</i> (<i>k</i> – натуральное число, большее 1).
У Ильи есть табличка $3\times 3$, заполненная числами от $1$ до $9$ так, как в таблице слева. За один ход Илья может поменять местами любые две строчки или любые два столбца. Может ли он за несколько ходов получить таблицу справа? <table cellspacing="10"> <tr> <td> <table border="1" cellpadding="4"> <tr> <td>1</td> <td>2</td> <td>3</td> </tr> <tr> <td>4</td> <td>5</td> <td>6</td> </tr> <tr> <td>7</td> <td>8</td> <td>9</td> </tr> </table> </td> <td> <table border="1" cellpadding="4"> <tr> <td>1</td> <td>4</td> <td>...
Конструктор состоит из плиток размерами 1 × 3 и 1 × 4. Из всех имеющихся плиток Федя сложил два прямоугольника размерами 2 × 6 и 7 × 8. Его брат Антон утащил по одной плитке из каждого сложенного прямоугольника. Сможет ли Федя из оставшихся плиток собрать прямоугольник размером 12 × 5?