Фольклор — олимпиадные задачи по математике для 2-7 класса

Медиана треугольника в полтора раза больше стороны, к которой она проведена. Найдите угол между двумя другими медианами.

Найдите<i>x</i>³+<i>y</i>³, если известно, что<i>x + y</i>= 5 и<i>x + y + x</i>²<i>y</i>+<i>xy</i>²= 24.

Разрежьте фигуру на рис. на 8 одинаковых частей. <i> <img align="center" src="/storage/problem-media/111894/problem_111894_img_2.gif"> </i>

От Майкопа до Белореченска 24 км. Три друга должны добраться: двое из Майкопа в Белореченск, а третий – из Белореченска в Майкоп. У них есть один велосипед, первоначально находящийся в Майкопе. Каждый из друзей может идти (со скоростью не более 6 км/ч) и ехать на велосипеде (со скоростью не более 18 км/ч). Оставлять велосипед без присмотра нельзя. Докажите, что через 2 часа 40 минут все трое друзей могут оказаться в пунктах назначения. Ехать на велосипеде вдвоём нельзя.

На базаре продаются рыбки, большие и маленькие. Сегодня три больших и одна маленькая стоят вместе столько же, сколько пять больших вчера. А две большие и одна маленькая сегодня стоят вместе столько же, сколько три больших и одна маленькая вчера. Можно ли по этим данным выяснить, что дороже: одна большая и две маленьких сегодня, или пять маленьких вчера?

На плоскости нарисован чёрный квадрат. Имеется семь квадратных плиток того же размера. Нужно положить их на плоскость так, чтобы они не перекрывались и чтобы каждая плитка покрывала хотя бы часть чёрного квадрата (хотя бы одну точку внутри него). Как это сделать?

На плоскости нарисован чёрный равносторонний треугольник. Имеется девять треугольных плиток того же размера и той же формы. Нужно положить их на плоскость так, чтобы они не перекрывались и чтобы каждая плитка покрывала хотя бы часть чёрного треугольника (хотя бы одну точку внутри него). Как это сделать?

Квадрат целого числа имеет вид ...09 (оканчивается цифрами 0 и 9). Докажите, что третья справа цифра чётна.

Существует ли такой набор из 10 натуральных чисел, что каждое не делится ни на одно из остальных, а квадрат каждого делится на каждое из остальных?

По неподвижному эскалатору человек спускается быстрее, чем поднимается. Что быстрее: спуститься и подняться по поднимающемуся эскалатору или спуститься и подняться по спускающемуся эскалатору? (Предполагается, что все скорости, о которых идет речь, постоянны, причём скорости эскалатора при движении вверх и вниз одинаковы, а скорость человека относительно эскалатора всегда больше скорости эскалатора.)

Можно ли найти десять таких последовательных натуральных чисел, что сумма их квадратов равна сумме квадратов следующих за ними девяти последовательных натуральных чисел?

Натуральные числа <i>a, b, c, d</i> таковы, что  <i>ab = cd</i>.  Докажите, что найдутся такие натуральные <i>u, v, w, z</i>, что  <i>a = uv,  b = wz,  c = uw,  d = vz</i>.

У кассира было 30 монет: 10, 15 и 20 копеек на сумму 5 рублей. Докажите, что 20-копеечных монет у него было больше, чем 10-копеечных.

Петя хочет изготовить необычную игральную кость, которая, как обычно, должна иметь форму куба, на гранях которого нарисованы точки (на разных гранях разное число точек), но при этом на каждых двух соседних гранях число точек должно различаться по крайней мере на два (при этом разрешается, чтобы на некоторых гранях оказалось больше шести точек). Сколько всего точек необходимо для этого нарисовать?

Числа 1, 2, 3, ..., 25 расставляют в таблицу  5&times5  так, чтобы в каждой строке числа были расположены в порядке возрастания.

Какое наибольшее и какое наименьшее значение может иметь сумма чисел в третьем столбце?

Укажите все такие натуральные <i>n</i> и целые неравные друг другу <i>x</i> и <i>y</i>, при которых верно равенство:   <i>x + x</i>² + <i>x</i>⁴ + ... + <i>x</i>^{2^<i>n</i>} = <i>y + y</i>² + <i>y</i>⁴ + ... + <i>y</i>^{2^<i>n</i>}.  

На экране компьютера горит число, которое каждую минуту увеличивается на 102. Начальное значение числа 123. Программист Федя имеет возможность в любой момент изменять порядок цифр числа, находящегося на экране. Может ли он добиться того, чтобы число никогда не стало четырёхзначным?

Существует ли 1000000 таких различных натуральных чисел, что никакая сумма нескольких из этих чисел не является полным квадратом?

10 друзей послали друг другу праздничные открытки, так что каждый послал пять открыток.

Докажите, что найдутся двое, которые послали открытки друг другу.

Имеется прямоугольная доска <i>m×n</i>, разделённая на клетки 1×1. Кроме того, имеется много косточек домино размером 1×2. Косточки уложены на доску, так что каждая косточка занимает две клетки. Доска заполнена не целиком, но так, что сдвинуть косточки невозможно (доска имеет бортики, так что косточки не могут выходить за пределы доски). Докажите, что число непокрытых клеток

  а) меньше  ^<i>mn</i>/₄;

  б) меньше  ^<i>mn</i>/₅.

Дано 1989 чисел. Известно, что сумма любых десяти из них положительна. Докажите, что сумма всех чисел тоже положительна.

Три бегуна – <i>X, Y</i> и <i>Z</i> – участвуют в забеге. <i>Z</i> задержался на старте и выбежал последним, а <i>Y</i> выбежал вторым. <i>Z</i> во время забега менялся местами с другими участниками 6 раз, а <i>X</i> – 5 раз. Известно, что <i>Y</i> финишировал раньше <i>X</i>. В каком порядке они финишировали?

Докажите, что из любых семи натуральных чисел (не обязательно идущих подряд) можно выбрать три числа, сумма которых делится на 3.

Известно, что доля блондинов среди голубоглазых больше чем доля блондинов среди всех людей.

Что больше: доля голубоглазых среди блондинов или доля голубоглазых среди всех людей?

В наборе имеются гири массой 1 г, 2 г, 4 г, ... (все степени числа 2), причём среди гирь могут быть одинаковые. На две чашки весов положили гири так, чтобы наступило равновесие. Известно, что на левой чашке все гири различны. Докажите, что на правой чашке не меньше гирь, чем на левой.