Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
В классе 27 учеников. Каждый из учеников класса занимается не более чем в двух кружках, причём для каждых двух учеников существует кружок, в котором они занимаются вместе. Докажите, что найдётся кружок, в котором занимаются не менее 18 учеников.
Каждый из учеников класса занимается не более чем в двух кружках, причём для любой пары учеников существует кружок, в котором они занимаются вместе. Докажите, что найдётся кружок, в котором занимается не менее ⅔ всего класса.
Можно ли в записи 2013² – 2012² – ... – 2² – 1² некоторые минусы заменить на плюсы так, чтобы значение получившегося выражения стало равно 2013?
Последовательные натуральные числа 2 и 3 делятся на последовательные нечётные числа 1 и 3 соответственно; числа 8, 9 и 10 – делятся на 1, 3 и 5 соответственно. Найдутся ли 11 последовательных натуральных чисел, которые делятся на 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 и 21 соответственно?
Убирая детскую комнату к приходу гостей, мама нашла девять носков. Среди каждых четырёх из этих носков хотя бы два принадлежали одному ребёнку, а среди каждых пяти не более трёх имели одного хозяина. Сколько могло быть детей и сколько носков могло принадлежать каждому ребёнку?
Известно, что среди 63 монет есть 7 фальшивых. Все фальшивые монеты весят одинаково, все настоящие монеты также весят одинаково, и фальшивая монета легче настоящей. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь определить 7 настоящих монет?
Натуральные числа а, b, c и d таковы, что ab = cd. Может ли число a + b + c + d оказаться простым?
На стороне ВС равностороннего треугольника АВС отмечены точки K и L так, что BK = KL = LC, а на стороне АС отмечена точка М так, что АМ = ⅓ AC. Найдите сумму углов AKM и ALM.
Для чисел а, b и с, отличных от нуля, выполняется равенство: a²(b + c – a) = b²(c + a – b) = c²(a + b – c). Следует ли из этого, что а = b = c?
В коробке лежат 2011 белых и 2012 чёрных шаров. Наугад вытаскиваются два шара. Если они одного цвета, то их выкидывают и кладут в коробку чёрный шар. Если они разного цвета, то выкидывают чёрный, а белый кладут обратно. Процесс продолжается до тех пор, пока в коробке не останется один шар. Какого он цвета?
В прямоугольнике АВСD точка Р – середина стороны АВ, а точка Q – основание перпендикуляра, опушенного из вершины С на PD. Докажите, что BQ = BC.
Петя ехал из Петрова в Николаево, а Коля – наоборот. Они встретились, когда Петя проехал 10 км и еще четверть оставшегося ему до Николаева пути, а Коля проехал 20 км и треть оставшегося ему до Петрова пути. Какое расстояние между Петрово и Николаево?
Является ли простым число 2011·2111 + 2500?
На рисунке изображен график функции у = kx + b . Сравните |k| и |b|.
Шахматист сыграл в турнире 20 партий и набрал 12,5 очков. На сколько партий больше он выиграл, чем проиграл?
У двух равнобедренных треугольников равны основания и радиусы описанных окружностей. Обязательно ли эти треугольники равны?
Существуют ли два одночлена, произведение которых равно –12а4b², а сумма является одночленом с коэффициентом 1?
Через точку Y на стороне AB равностороннего треугольника ABC проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке Z, а продолжение стороны CA за точку A – в точке X. Известно, что XY = YZ и AY = BZ. Докажите, что прямые XZ и BC перпендикулярны.
В каждой клетке таблицы 10×10 записано число. В каждой строке подчеркнули наибольшее число (или одно из наибольших, если их несколько), а в каждом столбце – наименьшее (или одно из наименьших). Оказалось, что все подчёркнутые числа подчёркнуты ровно два раза. Докажите, что все числа, записанные в таблице, между собой равны.
Назовём натуральные числа a и b друзьями, если их произведение является точным квадратом. Докажите, что если a – друг b, то a – друг НОД(a, b).
Четверо детей сказали друг о друге так. Маша: Задачу решили трое: Саша, Наташа и Гриша. Саша: Задачу не решили трое: Маша, Наташа и Гриша. Наташа: Маша и Саша солгали. Гриша: Маша, Саша и Наташа сказали правду. Сколько детей на самом деле сказали правду?
На карте обозначены четыре деревни: A, B, C и D, соединённые тропинками (см. рисунок). В справочнике указано, что на маршрутахA-B-CиB-C-Dесть по 10 колдобин, на маршрутеA-B-Dколдобин 22, а на маршрутеA-D-Bколдобин 45. Туристы хотят добраться изAвDтак, чтобы на их пути было как можно меньше колдобин. По какому маршруту им надо двигаться?
Верёвочку сложили пополам, потом ещё раз пополам, потом снова пополам, а затем все слои верёвочки разрезали в одном месте. Какова могла быть длина верёвочки, если известно, что какие-то два из полученных кусков имели длины 9 метров и 4 метра?
В стаде, состоящем из лошадей, двугорбых и одногорбых верблюдов, в общей сложности 200 горбов. Сколько животных в стаде, если количество лошадей равно количеству двугорбых верблюдов? .
На доске записаны числа 1, 21, 2², 2³, 24, 25. Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность – неотрицательное число. Может ли на доске в результате нескольких таких операций остаться только число 15?