Фольклор — олимпиадные задачи по математике для 11 класса
На какую наибольшую степень двойки делится число 10<sup>20</sup> – 2<sup>20</sup>?
Середины сторон выпуклого четырёхугольника являются вершинами квадрата. Обязательно ли исходный четырёхугольник является квадратом?
Последовательность <i>a<sub>n</sub></i> задана условием: <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <i>a<sub>n</sub> – a</i><sub><i>n</i>–1</sub>. Найдите <i>a</i><sub>100</sub>, если <i>a</i><sub>1</sub> = 3, <i>a</i><sub>2</sub> = 7.
Верно ли, что в вершинах любого треугольника можно расставить положительные числа так, чтобы сумма чисел в концах каждой стороны треугольника равнялась длине этой стороны?
Верно ли, что центр вписанной окружности треугольника лежит внутри треугольника, образованного средними линиями данного?
Четырёхугольник <i>ABCD</i> без параллельных сторон вписан в окружность. Для каждой пары касающихся окружностей, одна из которых имеет хорду <i>AB</i>, а другая – хорду <i>CD</i>, отметим их точку касания <i>X</i>. Докажите, что все такие точки <i>X</i> лежат на одной окружности.
Решите уравнение в целых числах: <i>n</i><sup>4</sup> + 2<i>n</i>² + 2<i>n</i>² + 2<i>n</i> + 1 = <i>m</i>².
Докажите, что в правильной треугольной пирамиде двугранный угол между боковыми гранями больше чем 60°.
Решите неравенство: [<i>x</i>]·{<i>x</i>} < <i>x</i> – 1.
Каждый узел бесконечной сетки покрашен в один из четырёх цветов так, что вершины каждого квадрата со стороной 1 окрашены в разные цвета. Верно ли, что узлы одной из прямых сетки окрашены только в два цвета? (Сетка образована горизонтальными и вертикальными прямыми. Расстояние между соседними параллельными прямыми равно 1.)
Длина каждой из сторон выпуклого шестиугольника <i>ABCDEF</i> меньше 1. Может ли длина каждой из диагоналей <i>АD, ВЕ</i> и <i>CF</i> быть не меньше 2?
Существуют ли такие значения <i>a</i> и <i>b</i>, при которых уравнение <i>х</i><sup>4</sup> – 4<i>х</i><sup>3</sup> + 6<i>х</i>² + <i>aх + b</i> = 0 имеет четыре различных действительных корня?
В турнире по волейболу <i>n</i> команд сыграли в один круг (каждая играла с каждой по одному разу, ничьих в волейболе не бывает). Пусть <i>Р</i> – сумма квадратов чисел, задающих количество побед каждой команды, <i>Q</i> – сумма квадратов чисел, задающих количество их поражений. Докажите, что <i>P = Q</i>.
Внутри прямоугольного треугольника <i>АВС</i> выбрана произвольная точка <i>Р</i>, из которой опущены перпендикуляры <i>PK</i> и <i>РМ</i> на катеты <i>АС</i> и <i>ВС</i> соответственно. Прямые <i>АР</i> и <i>ВР</i> пересекают катеты в точках <i>A</i>' и <i>B</i>' соответственно. Известно, что <i>S<sub>APB'</sub></i> : <i>S<sub>KPB'</sub> = m</i>. Найдите <i>S<sub>MPA'</sub></i> : <i>S<sub>BPA'</sub></i>.
Найдите наименьшее положительное значение <i>x</i> + <i>y</i>, если (1 + tg <i>x</i>)(1 + tg <i>y</i>) = 2.
На доске записаны числа: 4, 14, 24, ... , 94, 104. Можно ли стереть сначала одно число из записанных, потом стереть ещё два, потом – ещё три, и, наконец, стереть ещё четыре числа так, чтобы после каждого стирания сумма оставшихся на доске чисел делилась на 11?
Вокруг цилиндрической колонны высотой 20 метров и диаметра 3 метра обвита узкая лента, которая поднимается от подножия до вершины семью полными витками. Какова длина ленты?
Найдите значение выражения <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116618/problem_116618_img_2.gif"> .
Найдите все пары (<i>p, q</i>) простых чисел, разность пятых степеней которых также является простым числом.
В трапеции <i>ABCD</i> (<i>AD || BC</i>) из точки <i>Е</i> – середины <i>CD</i> провели перпендикуляр <i>EF</i> к прямой <i>AB</i>. Найдите площадь трапеции, если <i>АВ</i> = 5, <i>EF</i> = 4.
Решите уравнение: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116615/problem_116615_img_2.gif">.
В шахматном турнире было 12 участников (каждый сыграл с каждым по одному разу). По итогам турнира оказалось, что есть 9 участников, каждый из которых набрал не более 4 очков. Известно, что Петя набрал ровно 9 очков. Как он сыграл с каждым из двух остальных шахматистов? (Победа – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0 очков.)
В тетраэдре <i>ABCD</i> плоские углы <i>BAD</i> и <i>BCD</i> – тупые. Сравните длины ребер <i>AC</i> и <i>BD</i>.
В классе находятся учитель и несколько учеников. Известно, что возраст учителя на 24 года больше среднего возраста учеников и на 20 лет больше среднего возраста всех присутствующих в классе. Сколько учеников находится в классе?
В некотором государстве система авиалиний устроена таким образом, что каждый город соединен авиалиниями не более чем с тремя другими, и из каждого города можно попасть в любой другой, сделав не более одной пересадки. Какое наибольшее количество городов может быть в этом государстве?