Фольклор — олимпиадные задачи по математике для 10 класса
На какую наибольшую степень двойки делится число 10<sup>20</sup> – 2<sup>20</sup>?
Середины сторон выпуклого четырёхугольника являются вершинами квадрата. Обязательно ли исходный четырёхугольник является квадратом?
Последовательность <i>a<sub>n</sub></i> задана условием: <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <i>a<sub>n</sub> – a</i><sub><i>n</i>–1</sub>. Найдите <i>a</i><sub>100</sub>, если <i>a</i><sub>1</sub> = 3, <i>a</i><sub>2</sub> = 7.
Верно ли, что в вершинах любого треугольника можно расставить положительные числа так, чтобы сумма чисел в концах каждой стороны треугольника равнялась длине этой стороны?
На поляне пасутся 150 коз. Поляна разделена изгородями на несколько участков. Ровно в полдень некоторые козы перепрыгнули на другие участки. Пастух подсчитал, что на каждом участке количество коз изменилось, причём ровно в семь раз. Не ошибся ли он?
Длина прямоугольного участка равна 4 метра, а ширина – 1 метр.
Можно ли посадить на нём три дерева так, чтобы расстояние между любыми двумя деревьями было не меньше чем 2,5 метра?
На координатной плоскости задан график функции <i>y = kx + b</i> (см. рисунок). В той же координатной плоскости схематически постройте график функции <i>y = kx</i>² + <i>bx</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116806/problem_116806_img_2.gif"></div>
Известно, что модули корней каждого из двух квадратных трёхчленов <i>x</i>² + <i>ax + b</i> и <i>x</i>² + <i>cx + d</i> меньше 10. Может ли трёхчлен <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116803/problem_116803_img_2.gif"> иметь корни, модули которых не меньше 10?
Может ли число (<i>x</i>² + <i>x</i> + 1)² + (<i>y</i>² + <i>y</i> + 1)² при каких-то целых <i>x</i> и <i>y</i> оказаться точным квадратом?
Докажите, что если <i>а</i> > 0, <i>b</i> > 0, <i>c</i> > 0 и <i>аb + bc + ca</i> ≥ 12, то <i>a + b + c</i> ≥ 6.
В круговом шахматном турнире участвует 9 мальчиков и 3 девочки (каждый играет с каждым один раз, победа – 1 очко; ничья – 0,5; поражение – 0). Может ли в итоге оказаться, что сумма очков, набранных всеми мальчиками, будет равна сумме очков, набранных всеми девочками?
Две окружности пересекаются в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Прямая, пересекающая отрезок <i>PQ</i>, последовательно пересекает эти окружности в точках <i>A, B, C</i> и <i>D</i>.
Докажите, что ∠<i>APB</i> = ∠<i>CQD</i>.
Три фирмы <i>А, В</i> и <i>С</i> решили совместно построить дорогу длиной 16 км, договорившись финансировать этот проект поровну. В итоге, <i>А</i> построила 6 км дороги, <i>В</i> построила 10 км, а <i>С</i> внесла свою долю деньгами – 16 миллионов рублей. Каким образом фирмы <i>А</i> и <i>В</i> должны разделить эти деньги между собой?
Может ли произведение трёх трёхзначных чисел, для записи которых использовано девять различных цифр, оканчиваться четырьмя нулями?
Существует ли трапеция, в которой каждая диагональ разбивает её на два равнобедренных треугольника?
Решите уравнение: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116794/problem_116794_img_2.gif"> .
Верно ли, что центр вписанной окружности треугольника лежит внутри треугольника, образованного средними линиями данного?
Четырёхугольник <i>ABCD</i> без параллельных сторон вписан в окружность. Для каждой пары касающихся окружностей, одна из которых имеет хорду <i>AB</i>, а другая – хорду <i>CD</i>, отметим их точку касания <i>X</i>. Докажите, что все такие точки <i>X</i> лежат на одной окружности.
Решите уравнение в целых числах: <i>n</i><sup>4</sup> + 2<i>n</i>² + 2<i>n</i>² + 2<i>n</i> + 1 = <i>m</i>².
Докажите, что в правильной треугольной пирамиде двугранный угол между боковыми гранями больше чем 60°.
Решите неравенство: [<i>x</i>]·{<i>x</i>} < <i>x</i> – 1.
Каждый узел бесконечной сетки покрашен в один из четырёх цветов так, что вершины каждого квадрата со стороной 1 окрашены в разные цвета. Верно ли, что узлы одной из прямых сетки окрашены только в два цвета? (Сетка образована горизонтальными и вертикальными прямыми. Расстояние между соседними параллельными прямыми равно 1.)
Длина каждой из сторон выпуклого шестиугольника <i>ABCDEF</i> меньше 1. Может ли длина каждой из диагоналей <i>АD, ВЕ</i> и <i>CF</i> быть не меньше 2?
Существуют ли такие значения <i>a</i> и <i>b</i>, при которых уравнение <i>х</i><sup>4</sup> – 4<i>х</i><sup>3</sup> + 6<i>х</i>² + <i>aх + b</i> = 0 имеет четыре различных действительных корня?
В турнире по волейболу <i>n</i> команд сыграли в один круг (каждая играла с каждой по одному разу, ничьих в волейболе не бывает). Пусть <i>Р</i> – сумма квадратов чисел, задающих количество побед каждой команды, <i>Q</i> – сумма квадратов чисел, задающих количество их поражений. Докажите, что <i>P = Q</i>.