Ященко И.В. — олимпиадные задачи по математике для 8-10 класса
Расставьте в клетки квадрата 3×3 различные целые положительные числа, не большие 25, так, чтобы в любой паре соседних по стороне клеток одно число делилось на другое.
Посреди пустого бассейна стоит квадратная платформа 50 × 50 сантиметров, расчерченная на клеточки 10× 10 см. На клетки платформы Лена ставит башенки из кубиков 10× 10× 10 см. Потом Таня включает воду. Если высоты башенок были такие, как в таблице справа, то при уровне воды 5 см был 1 остров, при уровне воды 15 см было два острова (если острова «граничат по углу», то считаются отдельными островами), а при уровне воды 25 см все башенки оказались закрыты водой и стало 0 островов. <figure> <img width="200" src="/storage/problem-media/67173/problem_67173_img_2.png"> <img width="150" src="/storage/problem-media/67173/problem_67173_img_3.png"> </figure> Придумайте, какие башенки из кубиков можно поставить, чтобы количество островов б...
В белом клетчатом квадрате 2021×2021 требуется закрасить чёрным две клетки. После этого через каждую минуту одновременно закрашиваются чёрным все клетки, которые граничат по стороне хоть с одной из уже закрашенных. Ваня выбрал две начальные клетки так, чтобы весь квадрат закрасился как можно быстрее. Через сколько минут закрасился квадрат?
Все таверны в царстве принадлежат трем фирмам. В целях борьбы с монополиями царь Горох издал следующий указ: каждый день, если у некоторой фирмы оказывается более половины всех таверн и число её таверн делится на 5, то у этой фирмы остается только пятая часть её таверн, а остальные закрываются. Могло ли так случиться, что через три дня у всех фирм стало меньше таверн? (Новые таверны в это время открываться не могут.)
На доске написаны числа 2, 3, 4, ..., 29, 30. За рубль можно отметить любое число. Если какое-то число уже отмечено, можно бесплатно отмечать его делители и числа, кратные ему. За какое наименьшее число рублей можно отметить все числа на доске?
Все клетки верхнего ряда квадрата 14× 14 заполнены водой, а в одной клетке лежит мешок с песком (см. рис.). За один ход Вася может положить мешки с песком в любые 3 не занятые водой клетки, после чего вода заполняет каждую из тех клеток, которые граничат с водой (по стороне), если в этой клетке нет мешка с песком. Ходы продолжаются, пока вода может заполнять новые клетки. Как действовать Васе, чтобы в итоге вода заполнила как можно меньше клеток?<div align="center"><img align="middle" src="/storage/problem-media/66382/problem_66382_img_2.png"></div>
На конкурсе "А ну-ка, чудища!" стоят в ряд 15 драконов. У соседей число голов отличается на 1. Если у дракона больше голов, чем у обоих его соседей, его считают хитрым, если меньше, чем у обоих соседей, – сильным, остальных (в том числе стоящих с краю) считают обычными. В ряду есть ровно четыре хитрых дракона – с 4, 6, 7 и 7 головами и ровно три сильных – с 3, 3 и 6 головами. У первого и последнего драконов голов поровну.
а) Приведите пример того, как такое могло быть.
б) Докажите, что число голов у первого дракона во всех примерах одно и то же.
Имеется набор из двух карточек: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65109/problem_65109_img_2.gif"> и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65109/problem_65109_img_3.gif">. За одну операцию разрешается составить выражение, использующее числа на карточках, арифметические действия, скобки. Если его значение – целое неотрицательное число, то его выдают на новой карточке. (Например, имея карточки <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65109/problem_65109_img_4.gif">, <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65109/problem_65109_img_5.gif"> и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65109/problem_65109_img_6.gif"...