Шарыгин И.Ф. — олимпиадные задачи по математике

В результате измерения четырёх сторон и одной из диагоналей некоторого четырёхугольника получились числа: 1; 2; 2,8; 5; 7,5. Чему равна длина измеренной диагонали?

Внутри квадрата<i>ABCD</i>расположен квадрат<i>KMXY</i>. Докажите, что середины отрезков<i>AK</i>,<i>BM</i>,<i>CX</i>и<i>DY</i>также являются вершинами квадрата.

Изобразите множество середин всех отрезков, концы которых лежат а) на данной полуокружности; б) на диагоналях данного квадрата.

Внутренняя точка <i>M</i> выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> такова, что треугольники <i>AMB</i> и <i>CMD</i> – равнобедренные с углом величиной 120° при вершине <i>M</i>.

Докажите существование такой точки <i>N</i>, что треугольники <i>BNC</i> и <i>DNA</i> – правильные.

Можно ли покрасить четыре вершины куба в красный цвет и четыре другие – в синий так, чтобы плоскость, проходящая через любые три точки одного цвета, содержала точку другого цвета?

Правильный шестиугольник разрезан на <i>N</i> равновеликих параллелограммов. Доказать, что <i>N</i> делится на 3.

В треугольнике <i>ABC</i> проведены высота <i>AH</i> и биссектриса <i>BE</i>. Известно, что угол <i>BEA</i> равен 45°. Докажите, что угол <i>EHC</i> равен 45°.

Из вершин основания тетраэдра в боковых гранях провели высоты, а затем в каждой из боковых граней основания двух лежащих в ней высот соединили прямой. Докажите, что эти три прямые параллельны одной плоскости.

На рёбрах произвольного тетраэдра выбрано по точке. Через каждую тройку точек, лежащих на рёбрах с общей вершиной, проведена плоскость. Докажите, что если три из четырёх проведённых плоскостей касаются вписанного в тетраэдр шара, то и четвёртая плоскость также его касается.

Треугольное сечение куба касается вписанного в куб шара. Докажите, что площадь этого сечения меньше половины площади грани куба.

Докажите, что если для чисел <i>p</i>₁, <i>p</i>₂, <i>q</i>₁ и <i>q</i>₂ выполнено неравенство  (<i>q</i>₁ – <i>q</i>₂)² + (<i>p</i>₁ – <i>p</i>₂)(<i>p</i>₁<i>q</i>₂ – <i>p</i>₂<i>q</i>₁) < 0,  то квадратные трёхчлены

<i>x</i>² + <i>p</i>₁<i>x</i> + <i>q</i>₁  и  <i>x</i&...

Окружность <i>S</i>₁ касается сторон угла <i>ABC</i> в точках <i>A</i> и <i>C</i>. Окружность <i>S</i>₂ касается прямой <i>AC</i> в точке <i>C</i> и проходит через точку <i>B</i>. Окружность <i>S</i>₁ она пересекает в точке <i>M</i>. Докажите, что прямая <i>AM</i> делит отрезок <i>BC</i> пополам.

На диаметре <i>AC</i> некоторой окружности дана точка <i>E</i>. Проведите через неё хорду <i>BD</i> так, чтобы площадь четырёхугольника <i>ABCD</i> была наибольшей.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, $DC = m$, $DA = n$. На стороне $BA$ взяты точки $A_1$ и $K$, а на стороне $BC$ – точки $C_1$ и $M$. Известно, что $BA_1 = a$, $BC_1 = c$, $BK = BM$ и что отрезки $A_1M$ и $C_1K$ пересекаются на диагонали $BD$. Найдите $BK$ и $BM$.

Внутри треугольника <i>ABC</i> с острыми углами при вершинах <i>A</i> и <i>C</i> взята точка <i>K</i>, причём  ∠<i>AKB</i> = 90°,  ∠<i>CKB</i> = 180° – ∠<i>C</i>.

В каком отношении прямая <i>BK</i> делит сторону <i>AC</i>, если высота, опущенная на <i>AC</i>, делит эту сторону в отношении λ, считая от вершины <i>A</i>?

Даны две непересекающиеся окружности, к которым проведены две общие внешние касательные. Рассмотрим равнобедренный треугольник, основание которого лежит на одной касательной, противоположная вершина – на другой, а каждая из боковых сторон касается одной из данных окружностей. Докажите, что высота треугольника равна сумме радиусов окружностей.

На сторонах <i>AB, BC</i> и <i>CA</i> треугольника <i>ABC</i> зелёной краской отметили соответственно точки <i>C</i>₁, <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁, отличные от вершин треугольника. Оказалось, что  <i>AC</i>₁ : <i>C</i>₁<i>B = BA</i>₁ : <i>A</i>₁<i>C = CB</i>₁ : <i>B</i>₁<i>A</i>,  а ∠<i>A</i> = ∠<i>B</i>₁<i>A</i>₁<i>C</i>₁....

В тетраэдре <i>DABC</i>  ∠<i>ACB</i> = ∠<i>ADB</i>,  ребро <i>СD</i> перпендикулярно плоскости <i>АВС</i>. В треугольнике <i>АВС</i> дана высота <i>h</i>, проведённая к стороне <i>АВ</i>, и расстояние <i>d</i> от центра описанной окружности до этой стороны. Найдите <i>CD</i>.

Дан квадрат <i>ABCD</i>. Найдите геометрическое место точек <i>M</i> таких, что ∠<i>AMB</i> = ∠<i>CMD</i>.