Задача № 216884
Через вершину А остроугольного треугольника АВС проведены касательная АК к его описанной окружности, а также биссектрисы АN и AM внутреннего и внешнего углов при вершине А (точки М, K и N лежат на прямой ВС). Докажите, что MK = KN.
Шарыгин И.Ф. — олимпиадные задачи по математике - сложность 1-2 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216190
Дан остроугольный треугольник ABC. Прямая, параллельная BC, пересекает стороны AB и AC в точках M и P соответственно. При каком расположении точек M и P радиус окружности, описанной около треугольника BMP, будет наименьшим?
Задача № 208082
В угол вписана окружность с центром O. Через точку A, симметричную точке O относительно одной из сторон угла, провели к окружности касательные, точки пересечения которых с дальней от точки A стороной угла – B и C. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC лежит на биссектрисе данного угла.
Задача № 208062
Сторона AB треугольника ABC равна c. На стороне AB взята такая точка M, что ∠CMA = φ. Найдите расстояние между ортоцентрами треугольников AMC и BMC.
Задача № 207983
Для двух данных различных точек плоскостиAиBнайдите геометрическое место таких точекC, что треугольникABCостроугольный, а его уголA - средний по величине.Комментарий. Подсредним по величинеуглом мы понимаем угол, которыйне большеодного из углов, ине меньшедругого. Так, например, мы считаем, что у равностороннего треугольника любой угол - средний по величине.
Задача № 207799
В узлах клетчатой бумаги живут садовники, а вокруг них повсюду растут цветы. За каждым цветком должны ухаживать 3 ближайших к нему садовника. Один из садовников хочет узнать, за каким участком он должен ухаживать. Нарисуйте этот участок.
Задача № 207763
D– точка на сторонеBCтреугольникаABC. B треугольникиABD, ACDвписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная отBC), пересекающаяADв точкеK. Докажите, что длина отрезкаAKне зависит от положения точкиDнаBC.
Задача № 205104
Внутри угла с вершиной M отмечена точка A. Из этой точки выпустили шар, который отразился от одной стороны угла в точке B, затем от другой стороны в точке C и вернулся в A ("угол падения" равен "углу отражения", см. рис.). Докажите, что центр O описанной окружности треугольника BCM лежит на прямой AM. (Шар считайте точкой.)
Задача № 203801
Алик, Боря и Вася собирали грибы. Боря собрал грибов на 20% больше, чем Алик, но на 20% меньше, чем Вася. На сколько процентов больше Алика собрал грибов Вася?
Задача № 203796
Фигура на рисунке составлена из квадратов. Найдите сторону левого нижнего, если сторона самого маленького равна 1.
Задача № 203790
Прямоугольник составлен из шести квадратов (см. правый рисунок). Найдите сторону самого большого квадрата, если сторона самого маленького равна 1.
Задача № 203771
В результате измерения четырёх сторон и одной из диагоналей некоторого четырёхугольника получились числа: 1; 2; 2,8; 5; 7,5. Чему равна длина измеренной диагонали?
Задача № 203735
Изобразите множество середин всех отрезков, концы которых лежат а) на данной полуокружности; б) на диагоналях данного квадрата.
Задача № 198327
Можно ли покрасить четыре вершины куба в красный цвет и четыре другие – в синий так, чтобы плоскость, проходящая через любые три точки одного цвета, содержала точку другого цвета?
Задача № 197891
В треугольнике ABC проведены высота AH и биссектриса BE. Известно, что угол BEA равен 45°. Докажите, что угол EHC равен 45°.
Задача № 153137
Даны две непересекающиеся окружности, к которым проведены две общие внешние касательные. Рассмотрим равнобедренный треугольник, основание которого лежит на одной касательной, противоположная вершина – на другой, а каждая из боковых сторон касается одной из данных окружностей. Докажите, что высота треугольника равна сумме радиусов окружностей.