Задача № 216884
Через вершину А остроугольного треугольника АВС проведены касательная АК к его описанной окружности, а также биссектрисы АN и AM внутреннего и внешнего углов при вершине А (точки М, K и N лежат на прямой ВС). Докажите, что MK = KN.
Шарыгин И.Ф. — олимпиадные задачи по математике
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216190
Дан остроугольный треугольник ABC. Прямая, параллельная BC, пересекает стороны AB и AC в точках M и P соответственно. При каком расположении точек M и P радиус окружности, описанной около треугольника BMP, будет наименьшим?
Задача № 209670
Проведем через основание биссектрисы угла A разностороннего треугольника ABC отличную от стороны BC касательную к вписанной в треугольник окружности. Точку ее касания с окружностью обозначим через Ka . Аналогично построим точки Kb и Kc . Докажите, что три прямые, соединяющие точки Ka , Kb и Kc с серединами сторон BC , CA и AB соответственно, имеют общую точку, причем эта точка лежит на вписанной окружности.
Задача № 208679
Дан выпуклый четырёхугольник ABMC , в котором AB=BC , BAM = 30o , ACM= 150o . Докажите, что AM – биссектриса угла BMC .
Задача № 208570
На основании AB равнобедренного треугольника ABC выбрана точка D так, что окружность, вписанная в треугольник BCD, имеет тот же радиус, что и окружность, касающаяся продолжений отрезков CA и CD и отрезка AD (вневписанная окружность треугольника ACD). Докажите, что этот радиус равен одной четверти высоты треугольника ABC, опущенной на его боковую сторону.
Задача № 208188
В треугольнике ABC известно, что AA1– медиана, AA2– биссектриса, K – такая точка на AA1, для которой KA2 || AC . Докажите, что AA2 KC .
Задача № 208182
Вокруг треугольника ABC описана окружность, к ней через точки A и B проведены касательные, которые пересекаются в точке M. Точка N лежит на стороне BC, причём прямая MN параллельна стороне AC. Докажите, что AN = NC.
Задача № 208133
ABCD – выпуклый четырёхугольник. Окружности, построенные на отрезках AB и CD как на диаметрах, касаются внешним образом в точке M , отличной от точки пересечения диагоналей четырёхугольника. Окружность, проходящая через точки A , M и C , вторично пересекает прямую, соединяющую точку M и середину AB в точке K , а окружность, проходящая через точки B , M и D , вторично пересекает ту же прямую в точке L . Докажите, что |MK-ML| = |AB-CD| .
Задача № 208121
В окружность вписан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB. Пусть K – середина дуги BC, не содержащей точку A, N – середина отрезка AC, M – точка пересечения луча KN с окружностью. В точках A и C проведены касательные к окружности, которые пересекаются в точке E. Докажите, что ∠EMK = 90°.
Задача № 208096
ТочкиAиB, лежащие на окружности разбивают её на две дуги. Найдите геометрическое место середин всевозможных хорд, концы которых лежат на разных дугахAB.
Задача № 208082
В угол вписана окружность с центром O. Через точку A, симметричную точке O относительно одной из сторон угла, провели к окружности касательные, точки пересечения которых с дальней от точки A стороной угла – B и C. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC лежит на биссектрисе данного угла.
Задача № 208062
Сторона AB треугольника ABC равна c. На стороне AB взята такая точка M, что ∠CMA = φ. Найдите расстояние между ортоцентрами треугольников AMC и BMC.
Задача № 208055
Угол при вершине A равнобедренного треугольника ABC (AB = AC) равен 20°. На стороне AB отложим отрезок AD, равный BC. Найдите угол BCD.
Задача № 208043
В трапеции ABCD AB – основание, AC = BC, H – середина AB. Пусть l – прямая, проходящая через точку H и пересекающая прямые AD и BD в точках P и Q соответственно. Докажите, что либо углы ACP и QCB равны, либо их сумма равна 180°.
Задача № 208000
Муха летает внутри правильного тетраэдра с ребром a. Какое наименьшее расстояние она должна пролететь, чтобы побывать на каждой грани и вернуться в исходную точку?
Задача № 207994
На стороне AB треугольника ABC внешним образом построен квадрат с центром O. Точки M и N середины сторон AC и BC соответственно, а длины этих сторон равны соответственно a и b. Найти максимум суммы OM + ON, когда угол ACB меняется.
Задача № 207983
Для двух данных различных точек плоскостиAиBнайдите геометрическое место таких точекC, что треугольникABCостроугольный, а его уголA - средний по величине.Комментарий. Подсредним по величинеуглом мы понимаем угол, которыйне большеодного из углов, ине меньшедругого. Так, например, мы считаем, что у равностороннего треугольника любой угол - средний по величине.
Задача № 207799
В узлах клетчатой бумаги живут садовники, а вокруг них повсюду растут цветы. За каждым цветком должны ухаживать 3 ближайших к нему садовника. Один из садовников хочет узнать, за каким участком он должен ухаживать. Нарисуйте этот участок.
Задача № 207763
D– точка на сторонеBCтреугольникаABC. B треугольникиABD, ACDвписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная отBC), пересекающаяADв точкеK. Докажите, что длина отрезкаAKне зависит от положения точкиDнаBC.
Задача № 205104
Внутри угла с вершиной M отмечена точка A. Из этой точки выпустили шар, который отразился от одной стороны угла в точке B, затем от другой стороны в точке C и вернулся в A ("угол падения" равен "углу отражения", см. рис.). Докажите, что центр O описанной окружности треугольника BCM лежит на прямой AM. (Шар считайте точкой.)
Задача № 203939
В треугольнике ABC угол A равен α, BC = a. Вписанная окружность касается прямых AB и AC в точках M и P. Найти длину хорды, высекаемой на прямой MP окружностью с диаметром BC.
Задача № 203801
Алик, Боря и Вася собирали грибы. Боря собрал грибов на 20% больше, чем Алик, но на 20% меньше, чем Вася. На сколько процентов больше Алика собрал грибов Вася?
Задача № 203796
Фигура на рисунке составлена из квадратов. Найдите сторону левого нижнего, если сторона самого маленького равна 1.
Задача № 203792
Есть девять борцов разной силы. В поединке любых двух из них всегда побеждает сильнейший. Можно ли разбить их на три команды по три борца так, чтобы во встречах команд по системе "каждый с каждым" первая команда по числу побед одержала верх над второй, вторая – над третьей, а третья – над первой?
Задача № 203790
Прямоугольник составлен из шести квадратов (см. правый рисунок). Найдите сторону самого большого квадрата, если сторона самого маленького равна 1.
1–25 из 44