Шарыгин И.Ф. — олимпиадные задачи по математике для 9 класса

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, $DC = m$, $DA = n$. На стороне $BA$ взяты точки $A_1$ и $K$, а на стороне $BC$ – точки $C_1$ и $M$. Известно, что $BA_1 = a$, $BC_1 = c$, $BK = BM$ и что отрезки $A_1M$ и $C_1K$ пересекаются на диагонали $BD$. Найдите $BK$ и $BM$.

Внутри треугольника <i>ABC</i> с острыми углами при вершинах <i>A</i> и <i>C</i> взята точка <i>K</i>, причём  ∠<i>AKB</i> = 90°,  ∠<i>CKB</i> = 180° – ∠<i>C</i>.

В каком отношении прямая <i>BK</i> делит сторону <i>AC</i>, если высота, опущенная на <i>AC</i>, делит эту сторону в отношении λ, считая от вершины <i>A</i>?

Даны две непересекающиеся окружности, к которым проведены две общие внешние касательные. Рассмотрим равнобедренный треугольник, основание которого лежит на одной касательной, противоположная вершина – на другой, а каждая из боковых сторон касается одной из данных окружностей. Докажите, что высота треугольника равна сумме радиусов окружностей.

На сторонах <i>AB, BC</i> и <i>CA</i> треугольника <i>ABC</i> зелёной краской отметили соответственно точки <i>C</i>₁, <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁, отличные от вершин треугольника. Оказалось, что  <i>AC</i>₁ : <i>C</i>₁<i>B = BA</i>₁ : <i>A</i>₁<i>C = CB</i>₁ : <i>B</i>₁<i>A</i>,  а ∠<i>A</i> = ∠<i>B</i>₁<i>A</i>₁<i>C</i>₁....

Дан квадрат <i>ABCD</i>. Найдите геометрическое место точек <i>M</i> таких, что ∠<i>AMB</i> = ∠<i>CMD</i>.