Шарыгин И.Ф. — олимпиадные задачи по математике для 7-9 класса
Можно ли покрасить четыре вершины куба в красный цвет и четыре другие – в синий так, чтобы плоскость, проходящая через любые три точки одного цвета, содержала точку другого цвета?
Правильный шестиугольник разрезан на <i>N</i> равновеликих параллелограммов. Доказать, что <i>N</i> делится на 3.
Докажите, что если для чисел <i>p</i><sub>1</sub>, <i>p</i><sub>2</sub>, <i>q</i><sub>1</sub> и <i>q</i><sub>2</sub> выполнено неравенство (<i>q</i><sub>1</sub> – <i>q</i><sub>2</sub>)² + (<i>p</i><sub>1</sub> – <i>p</i><sub>2</sub>)(<i>p</i><sub>1</sub><i>q</i><sub>2</sub> – <i>p</i><sub>2</sub><i>q</i><sub>1</sub>) < 0, то квадратные трёхчлены
<i>x</i>² + <i>p</i><sub>1</sub><i>x</i> + <i>q</i><sub>1</sub> и <i>x</i&...
Окружность <i>S</i><sub>1</sub> касается сторон угла <i>ABC</i> в точках <i>A</i> и <i>C</i>. Окружность <i>S</i><sub>2</sub> касается прямой <i>AC</i> в точке <i>C</i> и проходит через точку <i>B</i>. Окружность <i>S</i><sub>1</sub> она пересекает в точке <i>M</i>. Докажите, что прямая <i>AM</i> делит отрезок <i>BC</i> пополам.
На диаметре <i>AC</i> некоторой окружности дана точка <i>E</i>. Проведите через неё хорду <i>BD</i> так, чтобы площадь четырёхугольника <i>ABCD</i> была наибольшей.
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, $DC = m$, $DA = n$. На стороне $BA$ взяты точки $A_1$ и $K$, а на стороне $BC$ – точки $C_1$ и $M$. Известно, что $BA_1 = a$, $BC_1 = c$, $BK = BM$ и что отрезки $A_1M$ и $C_1K$ пересекаются на диагонали $BD$. Найдите $BK$ и $BM$.
Внутри треугольника <i>ABC</i> с острыми углами при вершинах <i>A</i> и <i>C</i> взята точка <i>K</i>, причём ∠<i>AKB</i> = 90°, ∠<i>CKB</i> = 180° – ∠<i>C</i>.
В каком отношении прямая <i>BK</i> делит сторону <i>AC</i>, если высота, опущенная на <i>AC</i>, делит эту сторону в отношении λ, считая от вершины <i>A</i>?
Даны две непересекающиеся окружности, к которым проведены две общие внешние касательные. Рассмотрим равнобедренный треугольник, основание которого лежит на одной касательной, противоположная вершина – на другой, а каждая из боковых сторон касается одной из данных окружностей. Докажите, что высота треугольника равна сумме радиусов окружностей.
На сторонах <i>AB, BC</i> и <i>CA</i> треугольника <i>ABC</i> зелёной краской отметили соответственно точки <i>C</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>1</sub>, отличные от вершин треугольника. Оказалось, что <i>AC</i><sub>1</sub> : <i>C</i><sub>1</sub><i>B = BA</i><sub>1</sub> : <i>A</i><sub>1</sub><i>C = CB</i><sub>1</sub> : <i>B</i><sub>1</sub><i>A</i>, а ∠<i>A</i> = ∠<i>B</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>....
Дан квадрат <i>ABCD</i>. Найдите геометрическое место точек <i>M</i> таких, что ∠<i>AMB</i> = ∠<i>CMD</i>.