Храмцов Д. — олимпиадные задачи по математике - сложность 1-3 с решениями

На полке в произвольном порядке стоят десять томов энциклопедии, пронумерованных от 1 до 10. Разрешается менять местами любые два тома, между которыми стоит не меньше четырёх других томов. Всегда ли можно расставить все тома по возрастанию номеров?

При каком наибольшем <i>n</i> можно раскрасить числа 1, 2, ..., 14 в красный и синий цвета так, чтобы для каждого числа  <i>k</i> = 1, 2, ..., <i>n</i>  нашлись пара синих чисел, разность между которыми равна <i>k</i>, и пара красных чисел, разность между которыми тоже равна <i>k</i>?

Все клетки квадратной таблицы <i>n</i>×<i>n</i> пронумерованы в некотором порядке числами от 1 до <i>n</i>². Петя делает ходы по следующим правилам. Первым ходом он ставит фишку в любую клетку. Каждым последующим ходом Петя может либо поставить новую фишку на какую-то клетку, либо переставить фишку из клетки с номером <i>a</i> ходом по горизонтали или по вертикали в клетку с номером большим, чем <i>a</i>. Каждый раз, когда фишка попадает в клетку, эта клетка немедленно закрашивается; ставить фишку на закрашенную клетку запрещено. Какое наименьшее количество фишек потребуется Пете, чтобы независимо от исходной нумерации он смог за несколько ходов закрасить все клетки таблицы?