Храбров А. — олимпиадные задачи по математике

Существуют ли такие целые числа<i>a</i>и<i>b</i>, что   а) уравнение  <i>x</i>² +<i>ax + b</i>= 0  не имеет корней, а уравнение  [<i>x</i>²] +<i>ax + b</i>= 0 имеет?   б) уравнение  <i>x</i>² + 2<i>ax + b</i>= 0  не имеет корней, а уравнение  [<i>x</i>²] + 2<i>ax + b</i>= 0  имеет?

Положительные числа <i>x, y</i> и <i>z</i> удовлетворяют условию  <i>xyz ≥ xy + yz + zx</i>.  Докажите неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65705/problem_65705_img_2.png">

Все коэффициенты некоторого непостоянного многочлена целые и по модулю не превосходят 2015.

Докажите, что любой положительный корень этого многочлена больше чем ¹/₂₀₁₆.

Квадратный трёхчлен  <i>f</i>(<i>x</i>) имеет два различных корня. Оказалось, что для любых чисел <i>a</i> и <i>b</i> верно неравенство  <i>f</i>(<i>a</i>² + <i>b</i>²) ≥ <i>f</i>(2<i>ab</i>).

Докажите, что хотя бы один из корней этого трёхчлена – отрицательный.

Числа <i>a, b, c</i> и <i>d</i> таковы, что  <i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² + <i>d</i>² = 4.  Докажите, что  (2 + <i>a</i>)(2 + <i>b</i>) ≥ <i>cd</i>.

Дана функция <i>f</i>, определённая на множестве действительных чисел и принимающая действительные значения. Известно, что для любых <i>x</i> и <i>y</i>, таких, что  <i>x > y</i>,  верно неравенство  (<i>f</i>(<i>x</i>))² ≤ <i>f</i>(<i>y</i>).  Докажите, что множество значений функции содержится в промежутке  [0,1].

Какое из чисел больше:  (100!)!  или  99!^100!·100!^99!?

Положительные числа <i>a, b, c</i> и <i>d</i> удовлетворяют условию   2(<i>a + b + c + d</i>) ≥ <i>abcd</i>.   Докажите, что  <i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² + <i>d</i>² ≥ <i>abcd</i>.