Храбров А. — олимпиадные задачи по математике - сложность 1-3 с решениями
Квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>) имеет два различных корня. Оказалось, что для любых чисел <i>a</i> и <i>b</i> верно неравенство <i>f</i>(<i>a</i>² + <i>b</i>²) ≥ <i>f</i>(2<i>ab</i>).
Докажите, что хотя бы один из корней этого трёхчлена – отрицательный.
Числа <i>a, b, c</i> и <i>d</i> таковы, что <i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² + <i>d</i>² = 4. Докажите, что (2 + <i>a</i>)(2 + <i>b</i>) ≥ <i>cd</i>.
Дана функция <i>f</i>, определённая на множестве действительных чисел и принимающая действительные значения. Известно, что для любых <i>x</i> и <i>y</i>, таких, что <i>x > y</i>, верно неравенство (<i>f</i>(<i>x</i>))² ≤ <i>f</i>(<i>y</i>). Докажите, что множество значений функции содержится в промежутке [0,1].
Какое из чисел больше: (100!)! или 99!<sup>100!</sup>·100!<sup>99!</sup>?
Положительные числа <i>a, b, c</i> и <i>d</i> удовлетворяют условию 2(<i>a + b + c + d</i>) ≥ <i>abcd</i>. Докажите, что <i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² + <i>d</i>² ≥ <i>abcd</i>.