Френкин Б.Р. — олимпиадные задачи по математике

Найдите геометрическое место вершин треугольников с заданными ортоцентром и центром описанной окружности.

Выпуклый многоугольник описан около окружности. Точки касания его сторон с окружностью образуют многоугольник с таким же набором углов (порядок углов может быть другим). Верно ли, что многоугольник правильный?

Отрезки, соединяющие внутреннюю точку выпуклого неравностороннего <i>n</i>-угольника с его вершинами, делят <i>n</i>-угольник на <i>n</i> равных треугольников.

При каком наименьшем <i>n</i> это возможно?

Треугольник разрезан на несколько (не менее двух) треугольников. Один из них равнобедренный (не равносторонний), а остальные – равносторонние. Найдите углы исходного треугольника.

При каком наименьшем n существует выпуклый <i>n</i>-угольник, у которого синусы всех углов равны, а длины всех сторон различны?

Вася отвечает теорему Виета: "Сумма трёх коэффициентов квадратного трёхчлена равна одному из его корней, а произведение – другому".

Экзаменатор: "Неверно".

Вася: "Как же неверно? Я проверил для случайно выбранного трёхчлена, и всё получилось".

Какой это мог быть трёхчлен, если его коэффициенты – целые числа?

Петя и Вася играют на бирже. Некоторые дни удачные, и в такие дни капитал Пети увеличивается на 1000, а капитал Васи – на 10%. А остальные дни неудачные – и тогда капитал Пети уменьшается на 2000, а капитал Васи уменьшается на 20%. Через некоторое время капитал Пети оказался таким же, как был в начале. А что произошло с капиталом Васи: уменьшился он, увеличился или остался прежним?

Решите систему уравнений  (<i>n</i> > 2)      <img align="middle" src="/storage/problem-media/111649/problem_111649_img_2.gif">   <img align="middle" src="/storage/problem-media/111649/problem_111649_img_3.gif">     <i>x</i>₁ – <i>x</i>₂ = 1.

Существуют ли такие три числа, что если их поставить в одном порядке в качестве коэффициентов квадратного трёхчлена, то он имеет два положительных корня, а если в другом – два отрицательных?

Турнир, в котором участвовало 20 спортсменов, судили 10 арбитров. Каждый сыграл с каждым один раз, и каждую встречу судил ровно один арбитр. После окончания каждой игры оба участника фотографировались с арбитром. Через год после турнира была найдена стопка из всех этих фотографий. Оказалось, что не про каждого можно определить, кем он является – спортсменом или арбитром. Сколько могло быть таких людей?

На столе лежало 100 яблок, 99 апельсинов и груши. К столу подходили ребята. Первый взял яблоко, второй – грушу, третий – апельсин, следующий опять яблоко, следующий за ним – грушу, за ним – апельсин. Далее ребята разбирали фрукты в таком же порядке до тех пор, пока стол не опустел. Сколько могло быть груш?

Существует ли выпуклый многоугольник, у которого каждая сторона равна какой-нибудь диагонали, а каждая диагональ– какой-нибудь стороне?

При каком наименьшем<i> n </i>существует<i> n </i>-угольник, который можно разрезать на треугольник, четырехугольник, ..., 2006-угольник?

Четырехугольник<i> ABCD </i>описан около окружности. Докажите, что радиус этой окружности меньше суммы радиусов окружностей, вписанных в треугольники<i> ABC </i>и<i> ACD </i>.

Назовём два неравных треугольника похожими, если можно обозначить их <i>ABC</i> и <i>A'B'C'</i> так, чтобы выполнялись равенства  <i>AB = A'B',  AC = A'C'</i>  и

∠<i>B</i> = ∠<i>B'</i>.  Существуют ли три попарно похожих треугольника?

Диагонали выпуклого четырёхугольника делят его на четыре подобных треугольника. Докажите, что его можно разрезать на два равных треугольника.

Восстановите прямоугольный треугольник <i>ABC</i>  (∠<i>C</i> = 90°)  по вершинам <i>A, C</i> и точке на биссектрисе угла <i>B </i>.

В остроугольном треугольнике отметили отличные от вершин точки пересечения описанной окружности с высотами, проведенными из двух вершин, и биссектрисой, проведенной из третьей вершины, после чего сам треугольник стерли. Восстановите его. <center><i> <img src="/storage/problem-media/110752/problem_110752_img_2.gif"> </i></center>

На множестве действительных чисел задана операция<i> * </i>, которая каждым двум числам<i> a </i>и<i> b </i>ставит в соответствие число<i> ab </i>. Известно, что равенство(<i>ab</i>)<i>c=a+b+c </i>выполняется для любых трех чисел<i> a </i>,<i> b </i>и<i> c </i>. Докажите, что<i> ab=a+b </i>.

За первый год население некоторой деревни возросло на <i>n</i> человек, а за второй – на 300 человек. При этом за первый год население увеличилось на 300%, а за второй – на <i>n</i> %. Сколько жителей стало в деревне?

Найдите все возрастающие конечные арифметические прогрессии, которые состоят из простых чисел и у которых количество членов больше чем разность прогрессии.

Существуют ли такие натуральные числа <i>x</i> и <i>y</i>, что  <i>x</i>² + <i>x</i> + 1  является натуральной степенью <i>y</i>, а  <i>y</i>² + <i>y</i> + 1  – натуральной степенью <i>x</i>?

Путешественник посетил деревню, в котором каждый человек либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Жители деревни стали в круг, и каждый сказал путешественнику про соседа справа, правдив ли он. На основании этих сообщений путешественник смог однозначно определить, какую долю от всех жителей деревни составляют лжецы. Определите и вы, чему она равна.

В круговом турнире не было ничьих, за победу присуждалось 1 очко, за поражение – 0. Затем был определен <i>коэффициент</i> каждого участника. Он равнялся сумме очков, набранных теми, кого победил данный спортсмен. Оказалось, что у всех участников коэффициенты равны. Число участников турнира больше двух. Докажите, что все спортсмены набрали одинаковое количество очков.

2<i>n</i> шахматистов дважды провели круговой турнир (за победу начисляется одно очко, за ничью – ½, за поражение – 0).

Докажите, что если сумма очков каждого изменилась не менее чем на <i>n</i>, то она изменилась ровно на <i>n</i>.