Задача № 2051369 класс10 класс11 класс4 / 5
В городе Удоеве выборы мэра проходят следующим образом. Если в очередном туре голосования никто из кандидатов не набрал больше половины голосов, то проводится следующий тур с участием всех кандидатов, кроме последнего по числу голосов. (Никогда два кандидата не набирают голосов поровну; если кандидат набрал больше половины голосов, то он становится мэром и выборы заканчиваются.) Каждый избиратель в каждом туре голосует за одного из кандидатов. Если это кандидат вышел в следующий тур, то избиратель снова голосует за него. Если же кандидат выбыл, то все его избиратели голосуют за одного и того ж...
Задача № 2050649 класс10 класс11 класс4 / 5
Для чисел 1, ..., 1999, расставленных по окружности, вычисляется сумма произведений всех наборов из 10 чисел, идущих подряд. Найдите расстановку чисел, при которой полученная сумма наибольшая.
Задача № 1675188 класс9 класс10 класс11 класс4 / 5
Дано натуральное число n. Натуральное число m назовёмудачным, если найдутся m последовательных натуральных чисел, сумма которых равна сумме n следующих за ними натуральных чисел. Докажите, что количество удачных чисел нечётно.
Задача № 1674908 класс9 класс10 класс11 класс4 / 5
Даны две строго возрастающие последовательности положительных чисел, в которых каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих. Известно, что каждая последовательность содержит хотя бы одно число, которого нет в другой последовательности. Какое наибольшее количество общих чисел может быть у этих последовательностей? Замечание к условию.Предполагается, что обе последовательности бесконечны, иначе совпадений, очевидно, может быть сколько угодно (можно взять первые n членов последовательности Фибоначчи 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... как первую последовательность, и члены со второго по $(n+...
Задача № 1672629 класс10 класс11 класс4 / 5
Бесконечные возрастающие арифметические прогрессии a1,a2,a3,… и b1,b2,b3,… состоят из положительных чисел. Известно, что отношение bkak целое при любом k. Верно ли, что это отношение не зависит от k?
Задача № 1668768 класс9 класс10 класс11 класс4 / 5
Назовём пару различных натуральных чиселудачной, если их среднее арифметическое (полусумма) и среднее геометрическое (квадратный корень из произведения) — натуральные числа. Верно ли, что для каждой удачной пары найдётся другая удачная пара с тем же средним арифметическим? (Пояснение: пары (a,b) и (b,a) считаются одинаковыми.)
Задача № 16666210 класс11 класс4 / 5
На плоскости даны прямая l и точка A вне ее. Найдите геометрическое место инцентров остроугольных треугольников с вершиной A, у которых одна сторона лежит на прямой l.
Задача № 1649819 класс10 класс11 класс4 / 5
Выпуклый n-угольник P, где n > 3, разрезан на равные треугольники диагоналями, не пересекающимися внутри него. Каковы возможные значения n, если n-угольник описанный?