Френкин Б.Р. — олимпиадные задачи по математике для 6-9 класса

Вася отвечает теорему Виета: "Сумма трёх коэффициентов квадратного трёхчлена равна одному из его корней, а произведение – другому".

Экзаменатор: "Неверно".

Вася: "Как же неверно? Я проверил для случайно выбранного трёхчлена, и всё получилось".

Какой это мог быть трёхчлен, если его коэффициенты – целые числа?

Петя и Вася играют на бирже. Некоторые дни удачные, и в такие дни капитал Пети увеличивается на 1000, а капитал Васи – на 10%. А остальные дни неудачные – и тогда капитал Пети уменьшается на 2000, а капитал Васи уменьшается на 20%. Через некоторое время капитал Пети оказался таким же, как был в начале. А что произошло с капиталом Васи: уменьшился он, увеличился или остался прежним?

Существуют ли такие три числа, что если их поставить в одном порядке в качестве коэффициентов квадратного трёхчлена, то он имеет два положительных корня, а если в другом – два отрицательных?

Турнир, в котором участвовало 20 спортсменов, судили 10 арбитров. Каждый сыграл с каждым один раз, и каждую встречу судил ровно один арбитр. После окончания каждой игры оба участника фотографировались с арбитром. Через год после турнира была найдена стопка из всех этих фотографий. Оказалось, что не про каждого можно определить, кем он является – спортсменом или арбитром. Сколько могло быть таких людей?

На столе лежало 100 яблок, 99 апельсинов и груши. К столу подходили ребята. Первый взял яблоко, второй – грушу, третий – апельсин, следующий опять яблоко, следующий за ним – грушу, за ним – апельсин. Далее ребята разбирали фрукты в таком же порядке до тех пор, пока стол не опустел. Сколько могло быть груш?

Существует ли выпуклый многоугольник, у которого каждая сторона равна какой-нибудь диагонали, а каждая диагональ– какой-нибудь стороне?

При каком наименьшем<i> n </i>существует<i> n </i>-угольник, который можно разрезать на треугольник, четырехугольник, ..., 2006-угольник?

Четырехугольник<i> ABCD </i>описан около окружности. Докажите, что радиус этой окружности меньше суммы радиусов окружностей, вписанных в треугольники<i> ABC </i>и<i> ACD </i>.

Назовём два неравных треугольника похожими, если можно обозначить их <i>ABC</i> и <i>A'B'C'</i> так, чтобы выполнялись равенства  <i>AB = A'B',  AC = A'C'</i>  и

∠<i>B</i> = ∠<i>B'</i>.  Существуют ли три попарно похожих треугольника?

Диагонали выпуклого четырёхугольника делят его на четыре подобных треугольника. Докажите, что его можно разрезать на два равных треугольника.

Восстановите прямоугольный треугольник <i>ABC</i>  (∠<i>C</i> = 90°)  по вершинам <i>A, C</i> и точке на биссектрисе угла <i>B </i>.

В остроугольном треугольнике отметили отличные от вершин точки пересечения описанной окружности с высотами, проведенными из двух вершин, и биссектрисой, проведенной из третьей вершины, после чего сам треугольник стерли. Восстановите его. <center><i> <img src="/storage/problem-media/110752/problem_110752_img_2.gif"> </i></center>

На множестве действительных чисел задана операция<i> * </i>, которая каждым двум числам<i> a </i>и<i> b </i>ставит в соответствие число<i> ab </i>. Известно, что равенство(<i>ab</i>)<i>c=a+b+c </i>выполняется для любых трех чисел<i> a </i>,<i> b </i>и<i> c </i>. Докажите, что<i> ab=a+b </i>.

За первый год население некоторой деревни возросло на <i>n</i> человек, а за второй – на 300 человек. При этом за первый год население увеличилось на 300%, а за второй – на <i>n</i> %. Сколько жителей стало в деревне?

Найдите все возрастающие конечные арифметические прогрессии, которые состоят из простых чисел и у которых количество членов больше чем разность прогрессии.

Существуют ли такие натуральные числа <i>x</i> и <i>y</i>, что  <i>x</i>² + <i>x</i> + 1  является натуральной степенью <i>y</i>, а  <i>y</i>² + <i>y</i> + 1  – натуральной степенью <i>x</i>?

Путешественник посетил деревню, в котором каждый человек либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Жители деревни стали в круг, и каждый сказал путешественнику про соседа справа, правдив ли он. На основании этих сообщений путешественник смог однозначно определить, какую долю от всех жителей деревни составляют лжецы. Определите и вы, чему она равна.

В круговом турнире не было ничьих, за победу присуждалось 1 очко, за поражение – 0. Затем был определен <i>коэффициент</i> каждого участника. Он равнялся сумме очков, набранных теми, кого победил данный спортсмен. Оказалось, что у всех участников коэффициенты равны. Число участников турнира больше двух. Докажите, что все спортсмены набрали одинаковое количество очков.

2<i>n</i> шахматистов дважды провели круговой турнир (за победу начисляется одно очко, за ничью – ½, за поражение – 0).

Докажите, что если сумма очков каждого изменилась не менее чем на <i>n</i>, то она изменилась ровно на <i>n</i>.

Курс акций компании "Рога и копыта" каждый день в 12.00 повышается или понижается на 17% (курс не округляется).

Может ли курс акций дважды принять одно и то же значение?

Курс акций компании "Рога и копыта" каждый день в 12.00 повышается или понижается на <i>n</i>%, где <i>n</i> – фиксированное натуральное число, меньшее 100 (курс не округляется). Существует ли <i>n</i>, для которого курс акций может дважды принять одно и то же значение?

Дан многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) степени 2003 с действительными коэффициентами, причем старший коэффициент равен 1. Имеется бесконечная последовательность целых чисел  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ...,  такая, что  <i>P</i>(<i>a</i>₁) = 0,  <i>P</i>(<i>a</i>₂) = <i>a</i>₁,  <i>P</i>(<i>a</i>₃) = <i>a</i>₂  и т. д. Докажите, что не все числа в последовательности  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ...  различны.

Пусть <i>P</i>(<i>x</i>) – многочлен со старшим коэффициентом 1, а последовательность целых чисел  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ...  такова, что  <i>P</i>(<i>a</i>₁)= 0,  <i>P</i>(<i>a</i>₂) = <i>a</i>₁,  <i>P</i>(<i>a</i>₃) = <i>a</i>₂  и т. д. Числа в последовательности не повторяются. Какую степень может иметь <i>P</i>(<i>x</i>)?

В городе Удоеве выборы мэра проходят следующим образом. Если в очередном туре голосования никто из кандидатов не набрал больше половины голосов, то проводится следующий тур с участием всех кандидатов, кроме последнего по числу голосов. (Никогда два кандидата не набирают голосов поровну; если кандидат набрал больше половины голосов, то он становится мэром и выборы заканчиваются.) Каждый избиратель в каждом туре голосует за одного из кандидатов. Если это кандидат вышел в следующий тур, то избиратель снова голосует за него. Если же кандидат выбыл, то все его избиратели голосуют за одного и того же кандидата из числа оставшихся. На очередных выборах баллотировалось 2002 кандидата. Мэром стал Остап Бендер, занявший в первом туре <i>k</i>-е место по числу голосов. Определ...

Для чисел 1, ..., 1999, расставленных по окружности, вычисляется сумма произведений всех наборов из 10 чисел, идущих подряд.

Найдите расстановку чисел, при которой полученная сумма наибольшая.