Задача № 209610
Известно, что f(x), g(x) и h(x) – квадратные трёхчлены. Может ли уравнение f(g(h(x))) = 0 иметь корни 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8?
Токарев С.И. — олимпиадные задачи по математике
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 209608
Товарный поезд, отправившись из Москвы в x часов y минут, прибыл в Саратов в y часов z минут. Время в пути составило z часов x минут. Найдите все возможные значения x.
Задача № 209564
В классе 30 учеников, и у каждого из них одинаковое число друзей среди одноклассников. Каково наибольшее возможное число учеников, которые учатся лучше большинства своих друзей? (Про любых двух учеников в классе можно сказать, кто из них учится лучше; если A учится лучше B, а тот – лучше C, то A учится лучше C.)
Задача № 209532
Дан правильный 2n-угольник. Докажите, что на всех его сторонах и диагоналях можно расставить стрелки так, чтобы сумма полученных векторов была нулевой.
Задача № 209513
В турнире по теннису n участников хотят провести парные (двое на двое) матчи так, чтобы каждый из участников имел своим противником каждого из остальных ровно в одном матче. При каких n возможен такой турнир?
Задача № 209509
Найдите все функции f(x), определенные при всех положительных x , принимающие положительные значения и удовлетворяющие при любых положительных x и y равенству f(xy)=f(x)f(y).
Задача № 209489
На сторонах единичного квадрата отметили точки K, L, M и N так, что прямая KM параллельна двум сторонам квадрата, а прямая LN – двум другим сторонам квадрата. Отрезок KL отсекает от квадрата треугольник периметра 1. Треугольник какой площади отсекает от квадрата отрезок MN?
Задача № 208114
В плоскости выпуклого четырёхугольника ABCD расположена точка P. Проведены биссектрисы PK,PL, PM и PN треугольников APB, BPC, CPD и DPA соответственно. а) Найдите хотя бы одну такую точку P, для которой четырёхугольник KLMN – параллелограмм. б) Найдите все такие точки.
Задача № 208078
В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и BE. Известно, что DE – биссектриса угла ADC. Найдите величину угла A.
Задача № 207986
У Пети всего 28 одноклассников. У каждых двух из 28 различное число друзей в этом классе. Сколько друзей у Пети?
Задача № 207802
a) Восемь школьников решали восемь задач. Оказалось, что каждую задачу решили пять школьников. Докажите, что найдутся такие два школьника, что каждую задачу решил хотя бы один из них. б) Если каждую задачу решили четыре ученика, то может оказаться, что таких двоих не найдётся.
Задача № 205208
Учитель заполнил клетчатую таблицу 5×5 различными целыми числами и выдал по одной её копии Боре и Мише. Боря выбирает наибольшее число в таблице, затем вычёркивает строку и столбец, содержащие это число, затем выбирает наибольшее число из оставшихся, вычёркивает строку и столбец, содержащие это число, и т.д. Миша производит аналогичные операции, каждый раз выбирая наименьшие числа. Может ли учитель так заполнить таблицу, что сумма пяти чисел, выбранных Мишей, окажется больше суммы пяти чисел, выбранных Борей?
Задача № 205094
В круговом шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым из остальных один раз. Назовём партию неправильной, если выигравший её шахматист в итоге набрал очков меньше чем проигравший. (Победа даёт 1 очко, ничья – ½, поражение – 0.) Могут ли неправильные партии составлять а) более 75% от общего количества партий в турнире; б) более 70%?
Задача № 203892
Куб размером3×3×3 состоит из 27 единичных кубиков. Можно ли побывать в каждом кубике по одному разу, двигаясь следующим образом: из кубика можно пройти в любой кубик, имеющий с ним общую грань, причём запрещено ходить два раза подряд в одном направлении?
Задача № 203883
На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путник встретил троих островитян и спросил каждого из них: ''Сколько рыцарей среди твоих спутников?''. Первый ответил: ''Ни одного''. Второй сказал: ''Один''. Что сказал третий?
Задача № 203882
Найдите наименьшее четырёхзначное числоСЕЕМ, для которого существует решение ребусаМЫ + РОЖЬ = СЕЕМ. (Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные.)
Задача № 203881
Один мальчик 16 февраля 2003 года сказал: "Разность между числами прожитых мною (полных) месяцев и прожитых (полных) лет сегодня впервые стала равна 111". Когда он родился?
Задача № 203835
Из квадрата 5×5 вырезали центральную клетку. Разрежьте получившуюся фигуру на две части, в которые можно завернуть куб2×2×2.
Задача № 203811
Можно ли вычеркнуть из произведения 1!·2!·3!·...·100! один из факториалов так, чтобы произведение оставшихся было квадратом целого числа?
Задача № 203780
Среди любых десяти из шестидесяти школьников найдётся три одноклассника. Обязательно ли среди всех шестидесяти школьников найдётся а) 15 одноклассников; б) 16 одноклассников?
Задача № 198625
В каждой клетке таблицы размером 4×4 стоит знак "+" или "–". Разрешено одновременно менять знаки на противоположные в любой клетке и во всех клетках, имеющих с ней общую сторону. Сколько разных таблиц можно получить, многократно применяя такие операции?
Задача № 198486
В круговом шахматном турнире каждый участник играет с каждым из остальных один раз. За выигрыш присуждается одно очко, за ничью – пол-очка, за проигрыш – ноль. Назовём партию неправильной, если выигравший её шахматист в итоге набрал очков меньше проигравшего. а) Докажите, что неправильные партии составляют меньше ¾ общего числа партий в турнире. б) Докажите, что в пункте а) число ¾ нельзя заменить на меньшее.
Задача № 198485
Найдите максимальное число N, для которого существуют такие N последовательных натуральных чисел, что сумма цифр первого числа делится на 1, сумма цифр второго числа – на 2, сумма цифр третьего числа – на 3, ..., сумма цифр N-го числа – на N.
Задача № 198480
В однокруговом шахматном турнире назовём партию неправильной, если выигравший её шахматист в итоге набрал очков меньше, чем проигравший. Докажите, что неправильные партии составляют меньше ¾ общего числа партий в турнире.
Задача № 198332
Карточка матлото представляет собой таблицу 10×10 клеточек. Играющий отмечает 10 клеточек и отправляет карточку в конверте. После этого в газете публикуется десятка проигрышных клеточек. Докажите, что а) можно заполнить 13 карточек так, чтобы среди них обязательно нашлась "выигрышная" карточка – такая, в которой не отмечена ни одна проигрышная клеточка; б) двенадцати карточек для этого недостаточно.
26–50 из 78