Задача № 216993
Куб с ребром n составлен из белых и чёрных кубиков с ребром 1 таким образом, что каждый белый кубик имеет общую грань ровно с тремя чёрными, а каждый чёрный – ровно с тремя белыми. При каких n это возможно?
Токарев С.И. — олимпиадные задачи по математике - сложность 2 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216661
Можно ли 100 гирь массами 1, 2, 3, ..., 99, 100 разложить на 10 кучек разной массы так, чтобы выполнялось условие: чем тяжелее кучка, тем меньше в ней гирь?
Задача № 209864
Натуральные числа m и n таковы, что НОК(m, n) + НОД(m, n) = m + n. Докажите, что одно из чисел m или n делится на другое.
Задача № 209608
Товарный поезд, отправившись из Москвы в x часов y минут, прибыл в Саратов в y часов z минут. Время в пути составило z часов x минут. Найдите все возможные значения x.
Задача № 209489
На сторонах единичного квадрата отметили точки K, L, M и N так, что прямая KM параллельна двум сторонам квадрата, а прямая LN – двум другим сторонам квадрата. Отрезок KL отсекает от квадрата треугольник периметра 1. Треугольник какой площади отсекает от квадрата отрезок MN?
Задача № 208078
В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и BE. Известно, что DE – биссектриса угла ADC. Найдите величину угла A.
Задача № 203892
Куб размером3×3×3 состоит из 27 единичных кубиков. Можно ли побывать в каждом кубике по одному разу, двигаясь следующим образом: из кубика можно пройти в любой кубик, имеющий с ним общую грань, причём запрещено ходить два раза подряд в одном направлении?
Задача № 203881
Один мальчик 16 февраля 2003 года сказал: "Разность между числами прожитых мною (полных) месяцев и прожитых (полных) лет сегодня впервые стала равна 111". Когда он родился?
Задача № 203835
Из квадрата 5×5 вырезали центральную клетку. Разрежьте получившуюся фигуру на две части, в которые можно завернуть куб2×2×2.
Задача № 203811
Можно ли вычеркнуть из произведения 1!·2!·3!·...·100! один из факториалов так, чтобы произведение оставшихся было квадратом целого числа?
Задача № 203780
Среди любых десяти из шестидесяти школьников найдётся три одноклассника. Обязательно ли среди всех шестидесяти школьников найдётся а) 15 одноклассников; б) 16 одноклассников?
Задача № 198272
Существуют ли 100 таких натуральных чисел, что их сумма равна их наименьшему общему кратному? (Среди чисел могут быть равные.)
Задача № 198234
Можно ли из последовательности 1, ½, ⅓, ... выбрать (сохраняя порядок) а) сто чисел, б) бесконечную подпоследовательность чисел, из которых каждое, начиная с третьего, равно разности двух предыдущих (ak = ak–2 – ak–1)?
Задача № 198229
Найдите какие-нибудь пять натуральных чисел, разность каждых двух из которых равна наибольшему общему делителю этой пары чисел.
Задача № 198189
В строчку выписано 10 целых чисел. Вторая строчка находится так: под каждым числом A первой строчки пишется число, равное количеству чисел первой строчки, которые больше A и при этом стоят правее A. По второй строчке аналогично строится третья строчка и т. д. а) Докажите, что все строчки, начиная с некоторой – нулевые (состоят из сплошных нулей). б) Каково максимально возможное число ненулевых строчек (содержащих хотя бы одно число, отличное от нуля)?
Задача № 198166
Муравей ползает по проволочному каркасу куба, при этом он никогда не поворачивает назад. Может ли случиться, что в одной вершине он побывал 25 раз, а в каждой из остальных – по 20 раз?
Задача № 198157
Докажите, что существует такой набор из 100 различных натуральных чисел c1, c2, ..., c100, что для любых двух соседних чисел ci и ci+1 этого набора сумма есть квадрат целого числа.
Задача № 186103
По кругу расставлены 2005 натуральных чисел. Доказать, что найдутся два соседних числа, после выкидывания которых оставшиеся числа нельзя разбить на две группы с равной суммой.
Задача № 165569
На первой горизонтали шахматной доски стоят 8 чёрных ферзей, а на последней – 8 белых ферзей. За какое минимальное число ходов белые ферзи могут обменяться местами с чёрными? Ходят белые и чёрные по очереди, по одному ферзю за ход.
Задача № 165562
Функции f и g определены на всей числовой прямой и взаимно обратны. Известно, что f представляется в виде суммы линейной и периодической функций: f(x) = kx + h(x), где k – число, h – периодическая функция. Доказать, что g также представляется в таком виде.