Токарев С.И. — олимпиадные задачи по математике для 9 класса
В турнире по теннису <i>n</i> участников хотят провести парные (двое на двое) матчи так, чтобы каждый из участников имел своим противником каждого из остальных ровно в одном матче. При каких <i>n</i> возможен такой турнир?
На сторонах единичного квадрата отметили точки <i>K, L, M</i> и <i>N</i> так, что прямая <i>KM</i> параллельна двум сторонам квадрата, а прямая <i>LN</i> – двум другим сторонам квадрата. Отрезок <i>KL</i> отсекает от квадрата треугольник периметра 1. Треугольник какой площади отсекает от квадрата отрезок <i>MN</i>?
В плоскости выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> расположена точка <i>P</i>. Проведены биссектрисы <i>PK,PL, PM</i> и <i>PN</i> треугольников <i>APB, BPC, CPD</i> и <i>DPA</i> соответственно.
а) Найдите хотя бы одну такую точку <i>P</i>, для которой четырёхугольник <i>KLMN</i> – параллелограмм.
б) Найдите все такие точки.
В треугольнике <i>ABC</i> проведены биссектрисы <i>AD</i> и <i>BE</i>. Известно, что <i>DE</i> – биссектриса угла <i>ADC</i>. Найдите величину угла <i>A</i>.
У Пети всего 28 одноклассников. У каждых двух из 28 различное число друзей в этом классе. Сколько друзей у Пети?
a) Восемь школьников решали восемь задач. Оказалось, что каждую задачу решили пять школьников. Докажите, что найдутся такие два школьника, что каждую задачу решил хотя бы один из них.
б) Если каждую задачу решили четыре ученика, то может оказаться, что таких двоих не найдётся.
Учитель заполнил клетчатую таблицу 5×5 различными целыми числами и выдал по одной её копии Боре и Мише. Боря выбирает наибольшее число в таблице, затем вычёркивает строку и столбец, содержащие это число, затем выбирает наибольшее число из оставшихся, вычёркивает строку и столбец, содержащие это число, и т.д. Миша производит аналогичные операции, каждый раз выбирая наименьшие числа. Может ли учитель так заполнить таблицу, что сумма пяти чисел, выбранных Мишей, окажется больше суммы пяти чисел, выбранных Борей?
В круговом шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым из остальных один раз. Назовём партию <i>неправильной</i>, если выигравший её шахматист в итоге набрал очков меньше чем проигравший. (Победа даёт 1 очко, ничья – ½, поражение – 0.) Могут ли неправильные партии составлять
а) более 75% от общего количества партий в турнире;
б) более 70%?
Можно ли вычеркнуть из произведения 1!·2!·3!·...·100! один из факториалов так, чтобы произведение оставшихся было квадратом целого числа?
В круговом шахматном турнире каждый участник играет с каждым из остальных один раз. За выигрыш присуждается одно очко, за ничью – пол-очка, за проигрыш – ноль. Назовём партию <i>неправильной</i>, если выигравший её шахматист в итоге набрал очков меньше проигравшего.
а) Докажите, что неправильные партии составляют меньше ¾ общего числа партий в турнире.
б) Докажите, что в пункте а) число ¾ нельзя заменить на меньшее.
В однокруговом шахматном турнире назовём партию <i>неправильной</i>, если выигравший её шахматист в итоге набрал очков меньше, чем проигравший.
Докажите, что неправильные партии составляют меньше ¾ общего числа партий в турнире.
Карточка матлото представляет собой таблицу 10×10 клеточек. Играющий отмечает 10 клеточек и отправляет карточку в конверте. После этого в газете публикуется десятка проигрышных клеточек. Докажите, что
а) можно заполнить 13 карточек так, чтобы среди них обязательно нашлась "выигрышная" карточка – такая, в которой не отмечена ни одна проигрышная клеточка;
б) двенадцати карточек для этого недостаточно.
Карточка матлото представляет собой таблицу 6×6 клеточек. Играющий отмечает 6 клеточек и отправляет карточку в конверте. После этого в газете публикуется шестёрка проигрышных клеточек. Докажите, что
а) можно заполнить девять карточек так, чтобы среди них обязательно нашлась "выигрышная" карточка – такая, в которой не отмечена ни одна проигрышная клеточка;
б) восьми карточек для этого недостаточно.
Существует ли такое шестизначное число <i>A</i>, что среди чисел <i>A</i>, 2<i>A</i>, ..., 500000<i>A</i> нет ни одного числа, оканчивающегося шестью одинаковыми цифрами?
Существуют ли 100 таких натуральных чисел, что их сумма равна их наименьшему общему кратному?
(Среди чисел могут быть равные.)
Докажите, что среди 50 человек найдутся двое, у которых чётное число общих знакомых (быть может, 0) среди остальных 48 человек.
Можно ли из последовательности 1, ½, ⅓, ... выбрать (сохраняя порядок)
а) сто чисел,
б) бесконечную подпоследовательность чисел,
из которых каждое, начиная с третьего, равно разности двух предыдущих (<i>a<sub>k</sub> = a</i><sub><i>k</i>–2</sub> – <i>a</i><sub><i>k</i>–1</sub>)?
Существует ли такой выпуклый пятиугольник, от которого некоторая прямая отрезает подобный ему пятиугольник?
Петя заметил, что у всех его 25 одноклассников различное число друзей в этом классе. Сколько друзей у Пети?
Докажите, что существует такой набор из 100 различных натуральных чисел <i>c</i><sub>1</sub>, <i>c</i><sub>2</sub>, ..., <i>c</i><sub>100</sub>, что для любых двух соседних чисел <i>c<sub>i</sub></i> и <i>c</i><sub><i>i</i>+1</sub> этого набора сумма <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98157/problem_98157_img_2.gif"> есть квадрат целого числа.
Дан угол с вершиной <i>O</i> и внутри него точка <i>A</i>. Рассмотрим такие точки <i>M, N</i> на разных сторонах данного угла, что углы <i>MAO</i> и <i>OAN</i> равны.
Докажите, что все прямые <i>MN</i> проходят через одну точку (или параллельны).
Дана арифметическая прогрессия (с разностью, отличной от нуля), составленная из натуральных чисел, десятичная запись которых не содержит цифры 9.
а) Докажите, что число её членов меньше 100.
б) Приведите пример такой прогрессии с 72 членами.
в) Докажите, что число членов всякой такой прогрессии не больше 72.
По кругу расставлены 2005 натуральных чисел.
Доказать, что найдутся два соседних числа, после выкидывания которых оставшиеся числа нельзя разбить на две группы с равной суммой.
В клетках таблицы $15\times 15$ расставлены ненулевые числа так, что каждое из них равно произведению всех чисел, стоящих в соседних клетках (соседними называем клетки, имеющие общую сторону). Докажите, что все числа в таблице положительны.
Докажите, что в правильном двенадцатиугольнике <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A</i><sub>12</sub> диагонали <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>5</sub>, <i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>6</sub>, <i>A</i><sub>3</sub><i>A</i><sub>8</sub> и <i>A</i><sub>4</sub><i>A</i><sub>11</sub> пересекаются в одной точке.