Токарев С.И. — олимпиадные задачи по математике для 8-11 класса
Товарный поезд, отправившись из Москвы в <i>x</i> часов <i>y</i> минут, прибыл в Саратов в <i>y</i> часов <i>z</i> минут. Время в пути составило <i>z</i> часов <i>x</i> минут.
Найдите все возможные значения <i>x</i>.
В классе 30 учеников, и у каждого из них одинаковое число друзей среди одноклассников. Каково наибольшее возможное число учеников, которые учатся лучше большинства своих друзей? (Про любых двух учеников в классе можно сказать, кто из них учится лучше; если <i>A</i> учится лучше <i>B</i>, а тот – лучше <i>C</i>, то <i>A</i> учится лучше <i>C</i>.)
Дан правильный 2<i>n</i>-угольник.
Докажите, что на всех его сторонах и диагоналях можно расставить стрелки так, чтобы сумма полученных векторов была нулевой.
В турнире по теннису <i>n</i> участников хотят провести парные (двое на двое) матчи так, чтобы каждый из участников имел своим противником каждого из остальных ровно в одном матче. При каких <i>n</i> возможен такой турнир?
Найдите все функции<i> f</i>(<i>x</i>), определенные при всех положительных<i> x </i>, принимающие положительные значения и удовлетворяющие при любых положительных<i> x </i>и<i> y </i>равенству<i> f</i>(<i>x<sup>y</sup></i>)<i>=f</i>(<i>x</i>)<i><sup>f</sup></i>(<i>y</i>).
На сторонах единичного квадрата отметили точки <i>K, L, M</i> и <i>N</i> так, что прямая <i>KM</i> параллельна двум сторонам квадрата, а прямая <i>LN</i> – двум другим сторонам квадрата. Отрезок <i>KL</i> отсекает от квадрата треугольник периметра 1. Треугольник какой площади отсекает от квадрата отрезок <i>MN</i>?
В плоскости выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> расположена точка <i>P</i>. Проведены биссектрисы <i>PK,PL, PM</i> и <i>PN</i> треугольников <i>APB, BPC, CPD</i> и <i>DPA</i> соответственно.
а) Найдите хотя бы одну такую точку <i>P</i>, для которой четырёхугольник <i>KLMN</i> – параллелограмм.
б) Найдите все такие точки.
В треугольнике <i>ABC</i> проведены биссектрисы <i>AD</i> и <i>BE</i>. Известно, что <i>DE</i> – биссектриса угла <i>ADC</i>. Найдите величину угла <i>A</i>.
У Пети всего 28 одноклассников. У каждых двух из 28 различное число друзей в этом классе. Сколько друзей у Пети?
a) Восемь школьников решали восемь задач. Оказалось, что каждую задачу решили пять школьников. Докажите, что найдутся такие два школьника, что каждую задачу решил хотя бы один из них.
б) Если каждую задачу решили четыре ученика, то может оказаться, что таких двоих не найдётся.
Учитель заполнил клетчатую таблицу 5×5 различными целыми числами и выдал по одной её копии Боре и Мише. Боря выбирает наибольшее число в таблице, затем вычёркивает строку и столбец, содержащие это число, затем выбирает наибольшее число из оставшихся, вычёркивает строку и столбец, содержащие это число, и т.д. Миша производит аналогичные операции, каждый раз выбирая наименьшие числа. Может ли учитель так заполнить таблицу, что сумма пяти чисел, выбранных Мишей, окажется больше суммы пяти чисел, выбранных Борей?
В круговом шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым из остальных один раз. Назовём партию <i>неправильной</i>, если выигравший её шахматист в итоге набрал очков меньше чем проигравший. (Победа даёт 1 очко, ничья – ½, поражение – 0.) Могут ли неправильные партии составлять
а) более 75% от общего количества партий в турнире;
б) более 70%?
Куб размером3×3×3 состоит из 27 единичных кубиков. Можно ли побывать в каждом кубике по одному разу, двигаясь следующим образом: из кубика можно пройти в любой кубик, имеющий с ним общую грань, причём запрещено ходить два раза подряд в одном направлении?
Можно ли вычеркнуть из произведения 1!·2!·3!·...·100! один из факториалов так, чтобы произведение оставшихся было квадратом целого числа?
Среди любых десяти из шестидесяти школьников найдётся три одноклассника. Обязательно ли среди всех шестидесяти школьников найдётся
а) 15 одноклассников;
б) 16 одноклассников?
В каждой клетке таблицы размером 4×4 стоит знак "+" или "–". Разрешено одновременно менять знаки на противоположные в любой клетке и во всех клетках, имеющих с ней общую сторону. Сколько разных таблиц можно получить, многократно применяя такие операции?
В круговом шахматном турнире каждый участник играет с каждым из остальных один раз. За выигрыш присуждается одно очко, за ничью – пол-очка, за проигрыш – ноль. Назовём партию <i>неправильной</i>, если выигравший её шахматист в итоге набрал очков меньше проигравшего.
а) Докажите, что неправильные партии составляют меньше ¾ общего числа партий в турнире.
б) Докажите, что в пункте а) число ¾ нельзя заменить на меньшее.
Найдите максимальное число <i>N</i>, для которого существуют такие <i>N</i> последовательных натуральных чисел, что сумма цифр первого числа делится на 1, сумма цифр второго числа – на 2, сумма цифр третьего числа – на 3, ..., сумма цифр <i>N</i>-го числа – на <i>N</i>.
В однокруговом шахматном турнире назовём партию <i>неправильной</i>, если выигравший её шахматист в итоге набрал очков меньше, чем проигравший.
Докажите, что неправильные партии составляют меньше ¾ общего числа партий в турнире.
Карточка матлото представляет собой таблицу 10×10 клеточек. Играющий отмечает 10 клеточек и отправляет карточку в конверте. После этого в газете публикуется десятка проигрышных клеточек. Докажите, что
а) можно заполнить 13 карточек так, чтобы среди них обязательно нашлась "выигрышная" карточка – такая, в которой не отмечена ни одна проигрышная клеточка;
б) двенадцати карточек для этого недостаточно.
Карточка матлото представляет собой таблицу 6×6 клеточек. Играющий отмечает 6 клеточек и отправляет карточку в конверте. После этого в газете публикуется шестёрка проигрышных клеточек. Докажите, что
а) можно заполнить девять карточек так, чтобы среди них обязательно нашлась "выигрышная" карточка – такая, в которой не отмечена ни одна проигрышная клеточка;
б) восьми карточек для этого недостаточно.
Существует ли такое шестизначное число <i>A</i>, что среди чисел <i>A</i>, 2<i>A</i>, ..., 500000<i>A</i> нет ни одного числа, оканчивающегося шестью одинаковыми цифрами?
Существуют ли 100 таких натуральных чисел, что их сумма равна их наименьшему общему кратному?
(Среди чисел могут быть равные.)
Докажите, что среди 50 человек найдутся двое, у которых чётное число общих знакомых (быть может, 0) среди остальных 48 человек.
Можно ли из последовательности 1, ½, ⅓, ... выбрать (сохраняя порядок)
а) сто чисел,
б) бесконечную подпоследовательность чисел,
из которых каждое, начиная с третьего, равно разности двух предыдущих (<i>a<sub>k</sub> = a</i><sub><i>k</i>–2</sub> – <i>a</i><sub><i>k</i>–1</sub>)?