Задача № 215354
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD . Докажите, что для любой точки O внутри пирамиды сумма объёмов тетраэдров OSAB и OSCD равна сумме объёмов тетраэдров OSBC и OSDA .
Терешин Д.А. — олимпиадные задачи по математике - сложность 2 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 209632
Центры O1 , O2 и O3 трех непересекающихся окружностей одинакового радиуса расположены в вершинах треугольника. Из точек O1 , O2 и O3 проведены касательные к данным окружностям так, как показано на рисунке. Известно, что эти касательные, пересекаясь, образовали выпуклый шестиугольник, стороны которого через одну покрашены в красный и синий цвета. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих отрезков.
Задача № 209526
Внутри окружности расположен выпуклый четырехугольник, продолжения сторон которого пересекают ее в точках A1 , A2 , B1 , B2 , C1 , C2 , D1 и D2 960. Докажите, что если A1B2=B1C2=C1D2=D1A2 , то четырехугольник, образованный прямыми A1A2 , B1B2 , C1C2 , D1D2 , можно вписать в окружность.
Задача № 153138
На сторонах AB, BC, CD, DA прямоугольника ABCD взяты соответственно точки K, L, M, N, отличные от вершин. Известно, что KL || MN и KM ⊥ NL. Докажите, что точка пересечения отрезков KM и LN лежит на диагонали BD прямоугольника.