Сонкин М. — олимпиадные задачи по математике

Окружность, вписанная в треугольник<i> ABC </i>касается его сторон<i> AB </i>,<i> BC </i>и<i> CA </i>в точках<i> M </i>,<i> N </i>и<i> K </i>соответственно. Прямая, проходящая через вершину<i> A </i>и параллельная<i> NK </i>, пересекает прямую<i> MN </i>в точке<i> D </i>. Прямая, проходящая через вершину<i> A </i>и параллельная<i> MN </i>, пересекает прямую<i> NK </i>в точке<i> E </i>. Докажите, что прямая<i> DE </i>содержит среднюю линию треугольника<i> ABC </i>.

Окружность, вписанная в четырёхугольник<i> ABCD </i>, касается его сторон<i> DA </i>,<i> AB </i>,<i> BC </i>и<i> CD </i>в точках<i> K </i>,<i> L </i>,<i> M </i>и<i> N </i>соответственно. Пусть<i> S</i>1,<i> S</i>2,<i> S</i>3и<i> S</i>4– окружности, вписанные в треугольники<i> AKL </i>,<i> BLM </i>,<i> CMN </i>и<i> DNK </i>соответственно. К окружностям<i> S</i>1и<i> S</i>2,<i> S</i>2и<i> S</i>3,<i> S</i>3и<i> S</i>4,<i> S</i>4и<i> S</i>1проведены общие касательные, отличные от сторон четырёхугол...

Пусть окружность, вписанная в треугольник<i> ABC </i>, касается его сторон<i> AB </i>,<i> BC </i>и<i> AC </i>в точках<i> K </i>,<i> L </i>и<i> M </i>соответственно. К окружностям, вписанным в треугольники<i> BKL </i>,<i> CLM </i>и<i> AKM </i>проведены попарно общие внешние касательные, отличные от сторон треугольника<i> ABC </i>. Докажите, что эти касательные пересекаются в одной точке.

Треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность <i>S</i>. Пусть <i>A</i>₀ – середина дуги <i>BC</i> окружности <i>S</i>, не содержащей точку <i>A, C</i>₀ – середина дуги окружности <i>S</i>, не содержащей точку <i>C</i>. Окружность <i>S</i>₁ с центром <i>A</i>₀ касается <i>BC</i>, окружность <i>S</i>₂ с центром <i>C</i>₀ касается <i>AB</i>. Докажите, что центр <i>I</i> вписанной в треугольник <i>ABC</i> окружности лежит на одной из общих внешних касательных к окружностям...

На медиане <i>CD</i> треугольника <i>ABC</i> отмечена точка <i>E</i>. Окружность <i>S</i>₁, проходящая через точку <i>E</i> и касающаяся прямой <i>AB</i> в точке <i>A</i>, пересекает сторону <i>AC</i> в точке <i>M</i>. Окружность <i>S</i>₂, проходящая через точку <i>E</i> и касающаяся прямой <i>AB</i> в точке <i>B</i>, пересекает сторону <i>BC</i> в точке <i>N</i>. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>CMN</i> касается окружностей <i>S</i>₁ и <i>S</i>₂.

Пусть <i>O</i> – центр описанной окружности ω остроугольного треугольника <i>ABC</i>. Окружность ω₁ с центром <i>K</i> проходит через точки <i>A, O</i> и <i>C</i> и пересекает стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Известно, что точки <i>L</i> и <i>K</i> симметричны относительно прямой <i>MN</i>. Докажите, что  <i>BL</i> ⊥ <i>AC</i>.

Окружность <i>S</i> с центром <i>O</i> и окружность <i>S'</i> пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. На дуге окружности <i>S</i>, лежащей внутри <i>S'</i>, взята точка <i>C</i>. Точки пересечения прямых <i>AC</i> и <i>BC</i> с <i>S'</i>, отличные от <i>A</i> и <i>B</i>, обозначим через <i>E</i> и <i>D</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>DE</i> и <i>OC</i> перпендикулярны.

Пусть <i>O</i> – центр описанной окружности остроугольного треугольника <i>ABC, S_A, S_B, S_C</i> – окружности с центром <i>O</i>, касающиеся сторон <i>BC, CA</i> и <i>AB</i> соответственно. Докажите, что сумма трёх углов: между касательными к <i>S_A</i>, проведёнными из точки <i>A</i>, к <i>S_B</i> – из точки <i>B</i>, и к <i>S_C</i> – из точки <i>C</i>, равна 180°.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> через центр <i>O</i> описанной окружности и вершины <i>B</i> и <i>C</i> проведена окружность <i>S</i>. Пусть <i>OK</i> – диаметр окружности <i>S, D</i> и <i>E</i> – соответственно точки её пересечения с прямыми <i>AB</i> и <i>AC</i>. Докажите, что <i>ADKE</i> – параллелограмм.

В трапеции <i>ABCD</i> площади 1 основания <i>BC</i> и <i>AD</i> относятся как  1 : 2.&nbsp Пусть <i>K</i> – середина диагонали <i>AC</i>. Прямая <i>DK</i> пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>L</i>. Найдите площадь четырёхугольника <i>BCKL</i>.