Сонкин М. — олимпиадные задачи по математике - сложность 3-5 с решениями
Окружность, вписанная в четырёхугольник<i> ABCD </i>, касается его сторон<i> DA </i>,<i> AB </i>,<i> BC </i>и<i> CD </i>в точках<i> K </i>,<i> L </i>,<i> M </i>и<i> N </i>соответственно. Пусть<i> S</i>1,<i> S</i>2,<i> S</i>3и<i> S</i>4– окружности, вписанные в треугольники<i> AKL </i>,<i> BLM </i>,<i> CMN </i>и<i> DNK </i>соответственно. К окружностям<i> S</i>1и<i> S</i>2,<i> S</i>2и<i> S</i>3,<i> S</i>3и<i> S</i>4,<i> S</i>4и<i> S</i>1проведены общие касательные, отличные от сторон четырёхугол...
Пусть окружность, вписанная в треугольник<i> ABC </i>, касается его сторон<i> AB </i>,<i> BC </i>и<i> AC </i>в точках<i> K </i>,<i> L </i>и<i> M </i>соответственно. К окружностям, вписанным в треугольники<i> BKL </i>,<i> CLM </i>и<i> AKM </i>проведены попарно общие внешние касательные, отличные от сторон треугольника<i> ABC </i>. Докажите, что эти касательные пересекаются в одной точке.
Треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность <i>S</i>. Пусть <i>A</i><sub>0</sub> – середина дуги <i>BC</i> окружности <i>S</i>, не содержащей точку <i>A, C</i><sub>0</sub> – середина дуги окружности <i>S</i>, не содержащей точку <i>C</i>. Окружность <i>S</i><sub>1</sub> с центром <i>A</i><sub>0</sub> касается <i>BC</i>, окружность <i>S</i><sub>2</sub> с центром <i>C</i><sub>0</sub> касается <i>AB</i>. Докажите, что центр <i>I</i> вписанной в треугольник <i>ABC</i> окружности лежит на одной из общих внешних касательных к окружностям...
На медиане <i>CD</i> треугольника <i>ABC</i> отмечена точка <i>E</i>. Окружность <i>S</i><sub>1</sub>, проходящая через точку <i>E</i> и касающаяся прямой <i>AB</i> в точке <i>A</i>, пересекает сторону <i>AC</i> в точке <i>M</i>. Окружность <i>S</i><sub>2</sub>, проходящая через точку <i>E</i> и касающаяся прямой <i>AB</i> в точке <i>B</i>, пересекает сторону <i>BC</i> в точке <i>N</i>. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>CMN</i> касается окружностей <i>S</i><sub>1</sub> и <i>S</i><sub>2</sub>.
Пусть <i>O</i> – центр описанной окружности ω остроугольного треугольника <i>ABC</i>. Окружность ω<sub>1</sub> с центром <i>K</i> проходит через точки <i>A, O</i> и <i>C</i> и пересекает стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Известно, что точки <i>L</i> и <i>K</i> симметричны относительно прямой <i>MN</i>. Докажите, что <i>BL</i> ⊥ <i>AC</i>.