Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
На стороне AB треугольника ABC выбрана точка D . Окружность, описанная около треугольника BCD , пересекает сторону AC в точке M , а окружность, описанная около треугольника ACD , пересекает сторону BC в точке N (точки M и N отличны от точки C ). Пусть O – центр описанной окружности треугольника CMN . Докажите, что прямая OD перпендикулярна стороне AB .
Окружности S1 и S2 пересекаются в точках M и N. Через точку A окружности S1 проведены прямые AM и AN, пересекающие окружность S2 в точках B и C, а через точку D окружности S2 – прямые DM и DN, пересекающие S1 в точках E и F, причём точки A, E, F лежат по одну сторону от прямой MN, а D, B, C – по другую (см. рис.). Докажите, что если AB = DE, то точки A, F, C и D лежат на одной окружности, положение центра которой не зависит от выбора точек A и D.
Дан треугольник A0B0C0. На отрезке A0B0отмечены точки A1, A2, ,An , а на отрезке B0C0– точки C1, C2, , Cn , причём все отрезки AiCi+1( i=0,1, n-1), параллельны между собой и все отрезки CiAi+1( i=0,1, n-1) – тоже. Отрезки C0A1, A1C2, A2C1и C1A0ограничивают некоторый параллелограмм, отрезки C1A2, A2C3, A3C2и C2A1– тоже и т.д. Докажите, что сумма площадей всех n-1получившихся параллелограммов меньше половины площади треугольника A0B0C0.
Окружности S1и S2с центрами O1и O2пересекаются в точках A и B (см рис.). Луч O1B пересекает окружность S2в точке F , а луч O2B пересекает окружность S1в точке E . Прямая, проходящая через точку B параллельно прямой EF , вторично пересекает окружности S1и S2в точках M и N соответственно. Докажите, что MN=AE+AF .
Дан четырёхугольник ABCD , в котором AB=AD и ABC= ADC=90o . На сторонах BC и CD выбраны соответственно точки F и E так, что DF AE . Докажите, что AF BE .
Пусть окружность, вписанная в треугольник ABC , касается его сторон AB , BC и AC в точках K , L и M соответственно. К окружностям, вписанным в треугольники BKL , CLM и AKM проведены попарно общие внешние касательные, отличные от сторон треугольника ABC . Докажите, что эти касательные пересекаются в одной точке.