Задача № 209920
Докажите, что если ++=++= = ++ для некоторых a , b , c , x , y , z , то x=y=z или a=b=c .
Сонкин М. — олимпиадные задачи по математике для 10-11 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 209897
Докажите, что если 0 < a, b < 1, то .
Задача № 209661
Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC, CA, AB в точках A1, B1, C1 соответственно. Точки A2, B2, C2 – середины дуг BAC, CBA, ACB описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что прямые A1A2, B1B2 и C1C2 пересекаются в одной точке.
Задача № 209645
Решите в целых числах уравнение (x² – y²)² = 1 + 16y.
Задача № 208249
Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны AC в точке K. Вторая окружность, также с центром O, пересекает все стороны треугольника ABC. Пусть E и F – её точки пересечения со сторонами соответственно AB и BC, ближайшие к вершине B; B1 и B2 – точки её пересечения со стороной AC, B1 – ближе к A. Докажите, что точки B, K и точка P пересечения отрезков B2E и B1F лежат на одной прямой.
Задача № 208246
На стороне AB треугольника ABC выбрана точка D . Окружность, описанная около треугольника BCD , пересекает сторону AC в точке M , а окружность, описанная около треугольника ACD , пересекает сторону BC в точке N (точки M и N отличны от точки C ). Пусть O – центр описанной окружности треугольника CMN . Докажите, что прямая OD перпендикулярна стороне AB .
Задача № 208245
Окружности S1 и S2 пересекаются в точках M и N. Через точку A окружности S1 проведены прямые AM и AN, пересекающие окружность S2 в точках B и C, а через точку D окружности S2 – прямые DM и DN, пересекающие S1 в точках E и F, причём точки A, E, F лежат по одну сторону от прямой MN, а D, B, C – по другую (см. рис.). Докажите, что если AB = DE, то точки A, F, C и D лежат на одной окружности, положение центра которой не зависит от выбора точек A и D.
Задача № 208244
Биссектрисы AD и CE треугольника ABC пересекаются в точке O. Прямая, симметричная AB относительно CE, пересекает прямую, симметричную BC относительно AD, в точке K. Докажите, что KO ⊥ AC.
Задача № 208238
Дан треугольник A0B0C0. На отрезке A0B0отмечены точки A1, A2, ,An , а на отрезке B0C0– точки C1, C2, , Cn , причём все отрезки AiCi+1( i=0,1, n-1), параллельны между собой и все отрезки CiAi+1( i=0,1, n-1) – тоже. Отрезки C0A1, A1C2, A2C1и C1A0ограничивают некоторый параллелограмм, отрезки C1A2, A2C3, A3C2и C2A1– тоже и т.д. Докажите, что сумма площадей всех n-1получившихся параллелограммов меньше половины площади треугольника A0B0C0.
Задача № 208193
Окружности S1и S2с центрами O1и O2пересекаются в точках A и B (см рис.). Луч O1B пересекает окружность S2в точке F , а луч O2B пересекает окружность S1в точке E . Прямая, проходящая через точку B параллельно прямой EF , вторично пересекает окружности S1и S2в точках M и N соответственно. Докажите, что MN=AE+AF .
Задача № 208192
Дан четырёхугольник ABCD , в котором AB=AD и ABC= ADC=90o . На сторонах BC и CD выбраны соответственно точки F и E так, что DF AE . Докажите, что AF BE .
Задача № 208189
Две окружности радиусов R и r касаются прямой l в точках A и B и пересекаются в точках C и D . Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника ABC не зависит от длины отрезка AB .
Задача № 208178
Дан треугольник ABC. Точка B1 делит пополам длину ломаной ABC (составленной из отрезков AB и BC), точка C1 делит пополам длину ломаной ACB, точка A1 делит пополам длину ломаной CAB. Через точки A1, B1 и C1 проводятся прямые lA, lB и lC, параллельные биссектрисам углов BAC, ABC и ACB соответственно. Докажите, что прямые lA, lB и lC пересекаются в одной точке.
Задача № 208158
Окружность, вписанная в четырёхугольник ABCD , касается его сторон DA , AB , BC и CD в точках K , L , M и N соответственно. Пусть S1, S2, S3и S4– окружности, вписанные в треугольники AKL , BLM , CMN и DNK соответственно. К окружностям S1и S2, S2и S3, S3и S4, S4и S1проведены общие касательные, отличные от сторон четырёхугольника ABCD . Докажите, что четырёхугольник, образованный этими четырьмя касательными, – ромб.
Задача № 208156
Пусть окружность, вписанная в треугольник ABC , касается его сторон AB , BC и AC в точках K , L и M соответственно. К окружностям, вписанным в треугольники BKL , CLM и AKM проведены попарно общие внешние касательные, отличные от сторон треугольника ABC . Докажите, что эти касательные пересекаются в одной точке.